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函数的幂级数展开式 练习： * 求幂级数, 在其收敛域内以 f (x) 为和函数—函数的幂级数展开。 问题: 2.如果能展开, 是什么? 3.展开式是否唯一? 1. f (x)在什么条件下才能展开成幂级数? 麦克劳林展开式 泰勒展开式 定理 证 利用幂级数的和函数在其收敛区间内可任意阶求导的性质， 归纳可得， 即得 定理 称为n阶余项. 函数 f(x) 展开成幂级数 具体步骤： 2. 写出幂级数 ，并求其收敛域 D. 如果是,则 f(x)在 D上可展开成麦克劳林级数 基本展开式 收敛域为: ( n 不为正整数) 此外还有 一般用间接法: 根据展开式的唯一性, 利用已知展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法, 求展开式 . 例1 所以 例2 解 所以 例3 两边求导, 得 例4 解 例5 解 例6 解法1 所以 例6 解法2 例7 解 例8 解 例9 解 以上讨论的均为麦克劳林级数，下面讨论一下一般的泰勒级数： 其收敛域为D， 一般利用麦克劳林级数间接展开。 例10 解 例11 解 例12 解 而 * * * 函数能展开成幂级数的必要条件是在点处有任意阶导数，且系数 设函数能展开成幂级数， 于是存在使得 这表明是幂级数在内的和函数， 在上式中令 ，即得在. 又可得出在内有任意阶导数， 函数能展开成幂级数的充分条件是 其中D是幂级数的收敛域，1. 求出处的函数值及各阶导数值 ,,,； 3. 考察在D上是否成立。 : : : 将展开成x的幂级数. 将展开成x的幂级数. 因为 两边从0到x积分,得 , 上式对也成立,故收敛域为, 将展开成x的幂级数. 因为 , 两边从0到x积分,得 上述幂级数在处也收敛,且在处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为 将函数展开为()的幂级数. 将展开成x的幂级数. 将展开成x的幂级数. 将展开成x的幂级数. , , 两边从0到x积分,得 将展开成x的幂级数. 将展开成x的幂级数. 并要求余项在D上成立， 则在处的泰勒展开式为 将展开成的幂级数. 收敛域: , 即. 将展开成的幂级数. , 将函数展开为()的幂级数. 将函数展开为()的幂级数.