离散余弦cos变换.pptVIP

数字图象处理演示稿 纪玉波制作(C) 金字塔算法也是发展小波理论的原始基础。设想从一幅1024×1024的数字图像生成10幅尺度不同的附加图像。每一次通过连续平均2×2的像素块，并丢掉隔行隔列的像素，得到的将是512×512，256×256等一直到1×1的图像。然后对每一幅图像都用某种3×3的边缘检测算子来执行边缘检测。在原始图像上则会得到小边缘，在512×512和256×256像素图像上能找到稍大的边缘，而在16×16和更小的图像上就只能找到非常大的边缘。 小波变换正是沿着多分辨率这条线发展过来的。与时频域分析一样，－个信号用一个二维空间表示，不过这里的纵轴是尺度而不是频率。变尺度是通过对基本小波伸缩和平移而构成一组基函数来实现的。 4.6.3 连续小波变换 1．小波变换的定义 设函数f(t)∈L2(R)(平方可积函数空间L2(R)={x(t)∫R|x(t)|2dt∞}), 则小波变的定义如下： 其中，积分核为 的函数族。a＞0为尺度参数（伸缩参数）,b为定位参数（平移参数），函数称为小波。若a＞1函数ψ(t)具有伸展作用，若a＜1函数ψ(t)具有收缩作用。伸缩参数a对ψ(t)的影响如下图： 随着参数a的减小，ψ(t)的支撑区也随之变窄，反之亦然。ψ(t)随伸缩参数a和平移参数b而变化如下图： 图中小波函数为 。当a=2,b=15时，ψa,b(t)= ψ2,15(t)的波形从原点向右移至t=15,且波形展宽。当a=1/2,b=-10时，ψa,b(t)= ψ1/2,-10(t)的波形从原点向左移至t=-10,且波形收缩。 小波函数ψ(t)的选择不是唯一的，也不是任意的。这里ψ(t)是归一化的具有单位能量的解析函数，它应满足如下几个条件： (1)定义域应是紧支撑的（Compact support），也就是说在一个很小的区域之外，函数为零，即函数应有速降特性。 （2）平均值为零，即： 其高阶矩也为零。 该条件也叫小波的容许条件（Admissibility condition）。 记 则有 Cψ是有限值意味Ψ(ω)连续可积。 由上式可以看出，小波ψ(t)在t轴上取值有正有负才能保证上式积分为零。所以ψ(t)应有振荡性。 上述条件可以概括为，小波应是一个具有振荡性和迅速衰减的波。 对于所有f(t),ψ(t)∈L2R,连续小波逆变换有下式给出： 小波变换是能量守恒的，即下式成立： * * 4.2 离散余弦(cos) 变换 离散余弦变换也称为DCT变换，一维离散余弦变换的定义由下式表示： 式中，u为频率变量，u=0,1,…,N-1。f(x)是时域N点序列，x=0,1,…,N-1。 一维离散余弦变换的反变换由下式表示： 二维离散余弦变换的定义由下式表示： 其中，f(x,y)是空间域二维阵列函数，x,y=1,2,…,N-1，F(u,v)是频域二维阵列函数。式中表示的阵列为N×N。 二维离散余弦变换的反变换由下式表示： 如果采用矩阵形式表示，则一维离散余弦变换由下式表示： [F(u)]=[A][f(x)] [f(x)]=[A]T[F(u)] 对4×4的变换矩阵[A]为： 二维离散余弦变换矩阵形式表示为： [F(u,v)]=[A][f(x,y)][A]T [f(x,y)]=[A]T[F(u,v)][A] 离散余弦变换可以按照定义直接计算，但实际上它是一种有快速算法的正交变换，下面我们推导其快速算法。 由定义 如果把时域数据作如下拓展： 则fe(x)的离散余弦变换可以写成下式： 实际上 是2N点的离散傅立叶变换，所以，离散余弦变换可以通过把数据序列拓展为2N，然后作离散傅立叶变换，得到的结果取其实部便可以得到离散余弦变换。 同理，在作反变换时，首先将F(u)作如下拓展： 那么，反变换也可以由下式表示： 4.3 Walsh－Hadamard(沃尔什一哈达玛）变换 离散傅立叶变换和离散余弦变换在快速算法中都用到复数乘法，相对而言仍需要较多的计算时间。在某些应用领域，需要更为方便有效的变换方法，沃尔什一哈达玛变换就是其中的一种。 Walsh－Hadamard变换是一种矩阵元素值仅由1或一1组成的正交变换矩阵，因此，用这种变换矩阵作变换处理时，仅用到加、减法运算，可大大提高变换处理速度。对于Walsh－ Hadamard矩阵，有两种典型的序，即Hadamard序的Hh及Walsh序的Hw，对4×4的矩阵,Hh及Hw分别为： Hadamard矩阵的各行中元素符号变换次数若用k来表示，则相当于富里叶变换中频率含义的列率?可定