第七章微分方程.docVIP

第八章 微分方程 §1　微分方程的基本概念 一、微分方程的定义 定义1 含有未知函数导数或微分的方程叫做微分方程． 二、微分方程的阶 定义2　微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶． 三、微分方程的解 定义3 如果一个函数代入微分方程，能使方程成为恒等式，则称此函数为微分方程的解． 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线． 四、微分方程的通解与特解 定义4　如果微分方程的解中含有任意常数，任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解． 　　确定了通解中的任意常数以后所得到的解称为微分方程的特解． 注　10对于一阶微分方程，通常用来确定任意常数的条件是：； 对于二阶微分方程，通常用来确定任意常数的条件是：． 这样的条件称为初始条件． 　　20求微分方程满足初始条件的特解这样的问题称为微分方程的初值问题． 　　30一阶微分方程的初值问题记作，其几何意义为通过点的那条积分曲线； 　　　二阶微分方程的初值问题记作，其几何意义为通过点且在该点处的切线斜率为的那条积分曲线． 　　40通解中不一定包含方程的全部解．例如：，其通解为． §2　可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程的定义 定义　若一个一阶微分方程能写成的形式，则称该方程为可分离变量的微分方程． 二、可分离变量的微分方程的解法──分离变量法 求方程的通解． 解　分离变量得　　　， 两边积分　　　　　， 得　　　　　　　　， 即　　　　　　　　， 故通解为　　　　　　（）． 注　为了书写方便可用下列简化写法： 解　分离变量得　　， 两边积分　　　　， 得　　　　　　　， 故通解为　　　　． 求方程的通解． 解　分离变量得　　， 两边积分　　　　， 得　　　　　　， 故通解为　　　． 求方程的通解． 解　分离变量得　　， 两边积分　　　　， 得　　　　　　， 故通解为　　　． 求方程满足初始条件的特解． 解　分离变量得　　　， 两边积分　　　　　， 得　　　　　　　， 故通解为　　　　　　　． 由得　． 故所求特解为　， 即　　　　　　． 例5　设函数连续可导，且满足，求． 解　原方程两边对求导得　， 即　　　　　　　　　　　　　． 分离变量得　　　　　　　　， 两边积分得　　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　　． 又由原方程得，故， 故　　　　　　　　　　　　． §3　齐次方程 一、齐次方程的定义 定义　若一阶微分方程中的函数可写成的函数，即，则称该微分方程为齐次方程． 二、齐次方程的解法 　　　　　　　　　齐次方程可分离变量的方程 　求方程的通解． 解　原方程可写成　　　　， 令，则． 于是，原方程可化为　　， 分离变量得　　　　　　　， 两边积分得　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　　． 代回原变量得原方程的通解为　， 即　　　　　　　　　　　　　． 求解初值问题：． 解　原方程可写成　　　　　　， 令，则． 于是，原方程可化为　　　， 分离变量得　　　　　　　　， 两边积分得　　　　　　　， 即　　　　　　　　　　　　． 代回原变量得原方程的通解为　， 即　　　　　　　　　　　　　． 由得，， 故所求特解为　　　　　　　． §4　一阶线性微分方程 一、一阶线性微分方程 1.　一阶线性微分方程的定义 定义　形如 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1） 的方程称为一阶线性微分方程． 　　若，则称方程（1）是一阶齐次性方程；若不恒等于零，则称方程（1）是一阶非齐次性方程． 2.　一阶线性微分方程的解法 解法一　常数变易法 解法二　公式法 通解公式　　　 求方程的通解． 解　原方程可写成　　． 令　　　　． 通解为　　　　　 　　　　　　　　　． 例2　求方程的通解． 解　原方程可写成　　． 令　　　． 通解为　 　　　　　． 二、贝努利方程 贝努利方程的定义 定义　形如　的方程称为贝努里方程． 贝努利方程的解法 贝努利方程一阶线性方程 例3　求方程的通解． 解　令　，则原方程可化为 　　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　（1） 方程（1）的通解为　 　　　　　　　　　　． 故原方程的通解为　＝． §5　全微分方程 一、全微分方程的定义 定义　若一个一阶微分方程写成形式后，其左端恰是某个二元函数的全微分，则称此方程为全微分方程． 注　由Ch10　§3知，当在单连通区域G内具有一阶连续偏导数时，方程为全微分方程在G内恒成立． 二、全微分方程的解法──求原函数法 先求原函数：　 　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　． 方程的通解为　． 例1　求方程的通解． 解　因为，所以原方程为全微分方程． 原方程的通解为　　　． 例2　求方程的通解． 解　因为，所以原方程为全微分方程． 原方