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第五章　定积分 第一节 定积分的概念与性质 一、引例──定积分问题举例 1．曲边梯形的面积 已知曲边梯形的曲边方程为（非负、连续），底边为，求其面积A．具体计算步骤如下： （1）分割：在[a,b] 中任意插入若干个分点 把[a,b]分成n个小区间 y ，，…， 记它们的长度依次为，，…， （2）近似替代：区间对应的第i 个小 0 a b x 曲边梯形面积 （3）求和：曲边梯形面积 （4）取极限: 曲边梯形面积 ， 其中 2．变速直线运动路程 设物体作直线运动，已知速度 是时间间隔[T,T]上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s，具体计算步骤如下（与上类同）： （1）分割：在[T,T]中任意插入若干个分点 把[T,T]分成n个小区间 ，，…，，它们的长度依次为 ，，…， （2）近似替代：区间对应的第i 小段路程 （3）求和： （4）取极限：， 其中 二、定积分的概念 1． 定积分的定义 定义　设函数在［］上有界，在［］中任意插入若干个分点 ， 把［］分成n个小区间，，…，，它们的长度依次为，，…，．在每个小区间上任取一点，作和，记，如果不论对［］怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和S总趋于确定的极限I，则称极限I为函数在区间［］上的定积分（简称为积分），记为，即 其中叫做被积函数 ，叫做被积表达式 ， 叫做积分变量，叫做积分下限， 叫做积分上限，［］叫做积分区间． 注10　从符号上看，定积分与不定积分很相似，但本质上，定积分是一个极限值（确定的数），而不定积分是带有任意常数的原函数． 20　定积分的值仅与被积函数及积分区间［］有关，而与积分变量的记法无关．即有　 30　若定积分存在，则称在［］上可积． 40　规定：；． 50　定积分定义式的一个应用──求某种和式的数列极限： 　；　． 　一般地， ； 　　　　 　． 例1　（1）； 　（2）． 由定积分定义，前面两例中的曲边梯形的面积与变速直线运动路程可以用定积分表示： 2．定积分存在的充分条件 定理1　设在区间［］上连续，则在［］上可积． 定理2　设在区间［］上有界，且只有有限个间断点，则在［］上可积． 3．定积分几何意义 （1）当时， ──曲边梯形的面积 （2） 时， ──曲边梯形面积的负值 一般地， 　　　　 例2　利用定积分的几何意义计算下列积分： 　　（1）；（2）． 解　（1）； （2）． 三、定积分的性质 性质1　＝． 性质2　＝ （是非零常数）． 性质3　 （大小关系任意）． 性质4 ． 性质5　 若 ， 则 (ａｂ)． 推论1 若 ， 则 (ａｂ)． 推论2　 (ａｂ)． 性质6　 设及分别是函数在区间［］上的最大值及最小值, 则 (ａｂ)． 性质7. (定积分中值定理) 如果函数在闭区间［］上连续, 则在积分区间［］上至少存在一点，使 ． 证 因为连续，故在闭区间［］上一定取得最大值M与最小值ｍ，由性质6得 ． 根据连续函数的介值定理，知在［］上至少存在一点, 使 y ， 从而　　　　 ． 0 ａ ξ b x 注　定积分中值定理的几何解释： 上图中曲边梯形的面积等于矩形的面积． 例3　估计下列各积分的值 （1）；　（2）． 解　（1）由 得： ， 故 ． （2）， 记 ． 由 ． 由于，从而 ． 因此， ， ． 例4　设在［］上连续,证明： （1）若在［］上， 且，则在［］上； （2）若在［］上， 且 则． （3）若在［］上， 且，则在［］上． 证　（1）反证法： 若， 使， 则．由连续函数的局部保号性，必存在的某一邻域，使对，有．于是， 由于右边三项均非负，且第二项大于零，故＞０，与 ＝０矛盾．故在［］上． （