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第四章　不定积分 第一节　不定积分的概念与性质 一、原函数 1．原函数的定义 定义1 若存在函数，使得，都有，则称为在区间上的一个原函数． 注　是的一个原函数是的导函数． 2．原函数的性质 性质1　若是在区间上的一个原函数，则对任意常数C，．+C都是在区间上的原函数．因而，若存在原函数，则的原函数有无穷多个． 性质2　若是在区间上的一个原函数，则在区间上的任一原函数 均可表为+C的形式，其中C为常数． 3．原函数存在的条件 定理（原函数存在定理）　如果函数在区间上连续，那么在区间上存在可导函数，使对任意，都有．　【】1．不定积分的定义 定义2　若是在区间上的一个原函数，C为任意常数，则称+C为在区间上的不定积分，记作．即＝+C． 其中：　　——积分号； 　　　　　 ——积分变量；　　　　C——积分常数； ——被积函数； 　 ——被积表达式 例1 =＋C ； ． 例2 证明：==ln＋C． 2．不定积分的几何意义 曲线叫做的一条积分曲线． 不定积分在几何上表示一族积分曲线+C． 例3 设曲线过点（1，2），其上任意一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍，求曲线方程． 解　设曲线方程为，则．于是，． 由于，故．因此，所求曲线方程为． 3．积分运算与求导运算的关系 1．=，　　或　． 2．=＋C，　　或　． 例4 已知，求． 解　，． 三、不定积分的性质 性质1　． 性质2　　（） 四、基本积分公式 1．=＋C 2． ＋C 3．＋C 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．= 13．= 例5　． 例6　． 例7　． 例8　． 例9　． 例10　． 例11　． 例12　． 例13　（1）． （2）＝． 例14　（1）． （2）． 例15 例16　． 例17　 练习 1．. 2．. 3. 　　　　　　　　　　． 4．． 5． 　　　　　　　　　＝． 6． 7． 第二节 换元积分法 一、第一类换元积分法 引例 , 但， 事实上，． 一般地，若，则 ． 例1（1）． （2）． （3）． 一般地，（一）． 例2（1） 注： （2）． （3）. (4) ． （5）． 一般地，（二）． 例3（1）． 注： （2）． （3）． 　　（4）． 一般地，（三）． 　　　　　　． 例4（1）． 　　（2） 　　（3）． 　　（4） （5）． （6）． （7）． 一般地，（四）． 　　　　　　． 　　　　　　． 　　　　　　． 　　　　　　． 　　　　　　． 　　　　　　． 　　　　　　． 例5（1）． 　　（2）． 　　（3）． 　　（4）． 一般地，（五）． 　　　　　　． 　　　　　　． 　　　　　　． 例6（1）． （2）． （3）． 例7（1）． 　　（2）． （3） 　　　 （4） 例8（1）． (2) 例9（1）. （2）. 例10（1）． 　　 （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． 二、第二类换元积分法 第一类： 第二类： 注10　第二类换元积分法的思想方法： 积出 20　由于变量还原时，要求具有反函数，因此，要求单调、可导，且． 　30　第一类换元法与第二类换元法的异同： 　　相同之处：均可分解为＂换元――积分――代回＂三个步骤． 　　不同之处：（1）第一类换元法可省略变量代换的具体过程，简化为＂凑微分法＂，而第二类换元法通常不能简化． 　　　　　　（2）代换形式不同，第一类：令第二类：令． 1．三角代换 适用情形　被积函数含有． 代换目的　去掉根式． 代换形式　若被积函数含有则可令； 　　　　　若被积函数含有则可令； 　　　　　若被积函数含有则可令． 例1　＝ 　　　　　　　　　　　 例2　 ＝ 例3　 2．倒代换 适用情形　被积函数的分母中含有变量因子． 代换目的　去掉分母中含有变量因子． 代换形式　令． 例4　． 当时，， 　　　　　　　　　　　　　　　　＝； 当时，， 　　　　　　　　　　　　　　　　　＝． 故　　＝． 解法二（三角代换）． 3．根式代换 适用情形　； ． 代换目的　去掉根式． 代换形式　对于，令＝； 　　　　　对于，令（其中为的最小公倍数）． 例5　 ． 例6　 　　　　　　　　　． 例7　 　　　　　　　　． 例8． ▲常用积分公式（书P203） 14． 15． 16． 17． 18． 19． 20． 21． 22． 例9　． 例10　． 例