第三章矩阵的初等变换与线性方程组小结.docVIP

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组（小结） 一、矩阵的初等变换 定义1 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义(相应记号中把换成). 初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 注:初等变换的逆变换仍是初等变换, 且变换类型相同. 例如，变换的逆变换即为其本身；变换的逆变换为；变换的逆变换为或. 定义2 若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵, 则称矩阵与等价, 记为. 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性 ; (2) 对称性 若,则; (3) 传递性 若,,则. 满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵: (1) 零行(元素全为零的行)位于矩阵的下方; (2) 各非零行的首非零元的列标随着行标的增大而严格增大 . 满足下列条件的阶梯形矩阵为行最简形矩阵： (1) 各非零行的首非零元都是1； (2) 每个首非零元所在列的其余元素都是零. 矩阵的标准形F具有如下特点： F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0. 定理1 任意一个矩阵经过有限次初等变换, 可以化为下列标准形矩阵 推论 如果A为n阶可逆矩阵, 则矩阵A经过有限次初等变换可化为单位矩阵E, 即 二、初等矩阵 定义3 对单位矩阵施以一次初等变换得到矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换分别对应着三种初等矩阵. (1) 的第行(列)互换得到的矩阵 (2) 的第行(列)乘以非零数得到的矩阵 (3) 的第行乘以数加到第行上,或的第列乘以数加到第列上得到的矩阵 命题1 关于初等矩阵有下列性质： (1) ; (2) 定理2 设是一个矩阵, 对施行一次某种初等行(列)变换, 相当于用同种的阶初等矩阵左（右）乘. 三、求逆矩阵的初等变换法 定理3 阶矩阵可逆的充分必要条件是可以表示为若干初等矩阵的乘积. 因此，求矩阵的逆矩阵时，可构造矩阵矩阵 , 然后对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 这就是求逆矩阵的初等变换法. 四、用初等变换法求解矩阵方程 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 同理, 求解矩阵方程 等价于计算矩阵 亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 五、矩阵的秩 定义1 在矩阵中，任取行列,位于这些行列交叉处的个元素,不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式, 称为矩阵的阶子式. 注：矩阵的阶子式共有个. 定义2 设为矩阵, 如果存在的阶子式不为零, 而任何阶子式(如果存在的话)皆为零, 则称数为矩阵的秩, 记为(或). 并规定零矩阵的秩等于零. 矩阵的秩具有下列性质： (1) 若矩阵中有某个阶子式不为0, 则; (2) 若中所有阶子式全为0, 则; (3) 若为矩阵, 则; (4) (5) 若可逆, 则 (6) (7) (8) 注：当 称矩阵为满秩矩阵. 否则称为降秩矩阵. 六、矩阵秩的求法 定理1 若, 则. 根据上述定理, 我们得到利用初等变换求矩阵的秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵, 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是该矩阵的秩. 注: 由矩阵的秩及满秩矩阵的定义, 显然,若一个n阶矩阵是满秩的, 则 因而非奇异; 反之亦然.。 七、解线性方程组 设有线性方程组 其矩阵形式为 (2) 其中 称矩阵（有时记为）为线性方程组(1)的增广矩阵. 当时, 线性方程组(1)称为齐次的; 否则称为非齐次的. 齐次线性方程组的矩阵形式为 (3) 定理1 设元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩 定理2 设元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵的秩, 即 注：对 ， 上述定理的结果，可简要总结如下: (1) (2) (3) (4) (5) 求解线性方程组(1)的方法: 对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶梯形矩阵，便可直接判断其是否有解，若有解，化为行最简形矩阵，便可直接写出其全部解. 其中要注意，当时，的行阶梯形矩阵中含有个非零行，把这行的第一个非零