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第六章 弯曲应力 ? 纯弯曲时的正应力 ? 纯弯曲时的正应力 ? 纯弯曲时的正应力 ? 纯弯曲时的正应力 ? 纯弯曲时的正应力 ? 纯弯曲时的正应力 ? 纯弯曲时的正应力 ? 弯曲切应力 截面上距中性轴为y的横线以外部分截面面积对中性轴的静矩： 任意点的切应力公式： 实心截面梁的弯曲切应力 矩形截面 b z y h/2 h/2 y y1 dy1 实心截面梁的弯曲切应力 矩形截面 Q y 实心截面梁的弯曲切应力 工字形截面 z b b h H y B 实心截面梁的弯曲切应力 工字形截面 τmax τmin z b b h H y B 圆截面 实心截面梁的弯曲切应力 R FQ ? 弯曲切应力强度条件 弯矩较小而剪力Q较大的梁， 薄壁截面梁 梁由几部分经焊接、铆接或胶合而成，对焊缝、铆接或胶合面等进行剪切计算。 例题6 一起重量为50KN的单梁吊车（图a） ，跨度l=10.5m，由45a工字钢制成，［σ］=140MPa，［τ］=75MPa。为发挥其潜力，试计算能否起重P=70KN。若不能则在上、下翼缘各加焊一块100×10mm的钢板（图b），试校核其强度，并决定钢板的最小长度，已知电葫芦重F=15KN（梁的自重暂不考虑）。 图a l 图b y z 图a l 例题6 解：1.计算梁的最大起重量 由于l/h=23.3，属细长等截面梁，所以按弯曲正应力校核，小车在任意位置时，弯矩图如图： 弯曲正应力强度条件 ∴P=61.2KN70KN 所以不能直接起重70KN，需要加固。 P+F x M图 Mmax= Wy［σ］=2×105N?m=(P＋F)l/4 小车走到梁的中点时，弯矩最大，为 从型钢表查得No.45a工字钢Wy=1430×10-6m3， 例题6 2. 加焊钢板后再进行校核 Iy=32200＋2(10×13/12＋232×10×1)=4.282×104cm4 σmax= Mmax /Wy=122.4MPa［σ］ 所以梁是安全的。 P+F (1)校核弯曲正应力 图b y z 查表得No.45a工字钢 Iy=32200cm4 zmax=22.5＋1=23.5cm Wy= Jy / zmax=1.822×103cm3 P+F 例题6 2. 加焊钢板后再进行校核 τmax=Q/( b Iy/Sy*)=19.15MPa ［τ］ 可见弯曲剪应力影响不大。 (2)校核弯曲切应力 图b y z Qmax=70＋15=85KN Iy：Sy*=38.6cm，b=1.15cm 例题6 3.决定钢板最小长度 x2－10.5x＋24.7=0 45a工字钢能承受弯矩M=200 KN?m P+F x x≤3.56m 钢板最小长度为：l=2×(5.25－3.56)=3.38m≈3.4m M图 * * ? 梁的纯弯曲 ? 梁的纯弯曲 A B P P x Q x M Pa Pa 纯弯曲 D a x C a P P 横力弯曲 C D m=Pa m 纯弯曲：横截面上只有弯矩并无剪力的情况。 ? 弯曲正应力 σdA m ?dA ? 纯弯曲时的正应力 Q：与横截面相切的分布内力系的合力 M：与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩 Q M ?dA ?dA 纯弯曲梁 横截面上只有正应力 ? 变形特征与平面假设 现象： m m n n a a b b 变形后 m m 变形前 1、横向线m-m、n-n变形后仍是直线，只是各横向线发生了倾斜，但仍然和纵向线相垂直； 2、纵向线a-a、b-b变成了曲线，且靠近杆顶部凹面的纵向线缩短了，靠近杆底部凸面的纵向线伸长了； A B P P D a x C a m m n n a a b b ? 变形特征与平面假设 梁弯曲时，梁中有一层纤维既不伸长，也不缩短，称为中性层。 中性层 纵向对称面 中性轴 横截面 平面假设：变形前梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线。 结论： 梁横截面上的正应力就是纤维所受的拉应力或压应力，纯弯曲时横截面上没有剪应力。 m m n n a a b b m m b b dx O O m m O′ O′ ρ y dθ y x b′ b′ ? 变形几何关系 m b b dx O O y x y ? 物理关系 ? 纯弯曲时的正应力 中性轴Z轴通过截面形心 ? 静力关系 m x y z z σdA y ? 静力关系 m x y z z σdA y EIz：抗弯刚度 截面对中性轴（Z）的惯性矩 ? 静力关系 m x y z z σdA y x m y z z σdA y 此公式适用于对称弯曲的所有情况。 注意： 公式中的正负号与轴的取向有关； 公式的适用范围是材料的比例极限之内； 梁在横力弯曲时，对于梁的跨度与横截面的高度之比大于5的梁，剪力的存在对此