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学习概率的过程中应把握好几个关系 湖南 舒元生 求解概率问题，老师和学生都说难。学生难学，一是因为有些概念易混淆，如互斥事件、对立事件与独立事件，发生了次与第次才发生等；二是因为某些排列数与组合数难计算(如本文的例5)．老师难教，是因为某些解法明明讲深讲透了，而且自我感觉到讲得头头是道，可学生仍然听不明白(如本文的例1)。本文就如何把握好几个关系来突破概率学习这一难题谈谈个人的一些粗浅看法，不妥之处请同行斧正． 一、“至少有一……”的概率问题与对立事件的关系 例1 有10个用均匀材料做成的各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体玩具，将它们每次同时抛出，共抛5次．则朝上的面至少有一次全部都是同一数字的概率是[ ] A. B. C. D. 分析：咋一看这道题，不知从何下手，我们抓住“至少有一次”这几个关键字，可转化为对立事件来考虑． 解：事件“朝上的面至少有一次全部都是同一数字”的对立事件是“所抛的5次中，每次朝上的面数字都不全相同”.而抛一次朝上的面数字全相同的概率为，则抛一次朝上的面数字不全相同的概率为，从而抛5次每次朝上的面数字不全相同的概率为，所以抛5次朝上的面至少有一次全部都是同一数字的概率为.选D． 例2 某仪表内装有个相同的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作。如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是，计算在这段时间内仪表不能工作的概率. 分析：本题的关键是“任一个电子元件损坏，仪表就不能工作”，即“所有电子元件正常工作，才能保证仪表正常工作”，这样就可以转化为对立事件来考虑． 解：由题意可知，一个电子元件在某段时间内能工作的概率为， 那么个电子元件在某段时间内都能工作的概率为， 于是在这段时间内仪表不能工作的概率为． 二、“至少有一……”的概率问题与二项式定理的关系 例3 有10个均匀材料做成的各面分别标有数字1、2、3、4、5、6的正方体玩具，将它们每次同时抛出，共抛5次。则朝上的面至少有一次全部都是同一数字的概率是[ ] A. B. C. D. 分析：很多资料解答此题都是象例1那样转化为对立事件来解答，但读者总觉得还有不明白的地方，我们可以抓住“至少有一次”这几个关键字用下面的方法解答． 解：事件“朝上的面至少有一次全部都是同一数字”包含下面几个互斥事件：“恰有1次朝上的面全部都是同一数字”、“恰有2次朝上的面全部都是同一数字”、“恰有3次朝上的面全部都是同一数字”、“恰有4次朝上的面全部都是同一数字”、“恰好5次朝上的面全部都是同一数字”, 故所求概率为： ．选D. 注：这种解法看似繁琐，但学生易理解. 例4 某仪表内装有个相同的电子元件，其中任一个电子元件损坏时，这个仪表就不能工作.如果在某段时间内每个电子元件损坏的概率都是，计算在这段时间内仪表不能工作的概率. 分析：仪表不能工作，意味着至少有一个电子元件损坏。因此，这个问题我们可以利用二项式定理来解答. 解：仪表不能工作，意味着至少有一个电子元件损坏，其概率为： . 三、等可能性事件的概率问题与排列、组合的关系 例5 3男3女共6名同学站成一排，求从第二人(从左往右看)起的任何一个人，其前面的所有人中男同学总数不比女同学总数少的概率。 分析：本题的关键是求出“从第二人(从左往右看)起的任何一个人，其前面的所有人中男同学总数不比女同学总数少”的排法种数. 解：3男3女共6同学站成一排的排法数为，而从第二人(从左往右看)起的任何一个人，其前面的所有人中男同学总数不比女同学总数少的情形有如下5种： 每种情形中的3男3女又可分别进行全排列，共有种排法. 故所求概率为. 注：学好排列组合是解答概率问题的关键，本题我们通过画图找到了满足题意的5种排列情形，否则将无从下手. 练习1 (2004全国Ⅱ文、理)已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支。求： (Ⅰ)A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率； (Ⅱ)A组中至少有两支弱队的概率. 解：(Ⅰ)有一组恰有两支弱队的概率为 (Ⅱ)A组中至少有两支弱队的概率为. 注：本题也可用其它方法解答. 四、次独立重复试验中事件A发生次与事件A第次才发生及事件A第次发生的