64-拉格朗日定理和函数的单调性.pptVIP

§1 拉格朗日定理和函数的单调性 §2 柯西中值定理及不定式极限 §3 泰勒公式 §4 函数的极值与最值 §5 函数的凹凸性与拐点 §6 函数图象的讨论 一 问题的提出 2 罗尔(Rolle)定理 3 拉格朗日(Lagrange)中值定理 第四节 函数的单调性 1 问题的提出 2 单调性的判别法 3 单调区间求法 4 单调性的应用 一、柯西(Cauchy)中值定理 二、不定式极限 洛必达法则 三 其他未定式 四 小结与思考判断题 一 问题的提出 三 泰勒(Taylor)中值定理 四 常用n阶泰勒公式及其简单应用 例2.求函数f(x)=x2-2x+6的最值. (1).f(x)的定义域为(-∞，+∞). 解： (2).f’(x)=2x-2=2(x-1) (3).令f’(x)=0，解之得驻点为x=1. 当x∈(-∞，1)时，f’(x)0,单调递减. 当x∈(1，+∞)时，f’(x)0,单调递增. (二)若函数在一个开区间或无穷区间 (-∞，+∞)内可导， 且有唯一的极值点 . 例3.在半径为R的半圆内作内接梯形，使其底为直径其他三边 为圆的弦，问应这样设计，才能使梯形的面积最大？ 解： (三)：解决实际问题中的最大值问题的步骤： (1).根据题意建立函数关系式. (2).确定函数的定义域.. (3).求函数f(x)在给定区域上的最大值或最小值. 练习3.求半径为R的半圆的内接矩形的最大面积. 例4.生产某种商品x个单位的利润是P(x)=5000+x-0.00001x2(元) 问生产多少个单位时获得的利润最大？ 解： (1)函数关系式为P(x)=5000+x-0.00001x2 (x0). (2)P’(x)=1-0.00002x (3)令P’(x)=0得驻点x=5×104 ∵x=5×104是唯一驻点，又利润最大值存在. 练习： ∴当生产5×104个单位时获得的利润最大. 小结与作业 1）求出函数的定义域； 2）求出函数f(x)的导数f(x)； 3）令f’(x)=0,解出方程f(x)=0的全部解，得到f(x)的 全部驻点。 4）列表考察f’(x)的符号，以确定该驻点是否为极值点， 并由极值点求出函数的极值。 求函数极值的步骤： 证明: 定理1 （带lagrange余项的泰勒定理） 如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则 拉格朗日形式的余项 皮亚诺形式的余项 定理2 （带peano余项的泰勒定理） 如果f(x)在 点邻域内有n+1 阶导数，则 几点说明： （3） （麦克劳林公式） 解 例3 求 在x=1点的四阶泰勒公式 例4：求极限 罗尔定理 Lagrange 定理 柯西定理 泰勒公式 罗必塔法则 条 件，结论 五 小结与思考判断题 其它函数的麦克劳林公式 §4 函数的极值与最值 1.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间. 1）函数f(x)的定义域为（-∞，+∞） 2）又f’(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f’(x)=0,得x=1或x=2. 3） 4）单调增区间为(-∞，1]和[2，+∞） 单调减区间为[1，2] x f’(x) f(x) (-∞，1) 1 (1，2) 2 (2，+∞） + + 0 0 - 解： 复习引入 2.根据单调性画出函数f(x)的草图 由图知：f(x)在x=1处的函数值大于它近两旁各点的函数值； 而f(x)在x=2处的函数值小于它近两旁各点的函数值。 x y 1 2 -1 -2 1 2 f’(1)=0 f’(2)=0 0 一.极值的概念 定义：设f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b) 极值 极小值 极大值 极值点 极小值点 极大值点 注：1）极值是指函数值，而极值点是自变量的值； 2）函数的极值概念具有局部性；在小范围内相比比较 而言该点的函数值较大，而不是在整个定义域上最 大或最小，所以函数的极大值不一定比极小值大。 3）函数极值点必出现在区间内部，而不在区间的端点。 讲授新课 极大值, 极大值点. 极小值, 极小值点. 几何特征： 结论：1）f(x)在x0处有极值且可导，则f’(x0)=0 2）f(x)在x0处有极值且可导，则f’(x0)在x0的左右 两旁的符号要改变。 f’(x)从+到- f’(x)从-到+ x y 0 x y 0 x0 + - x0 + - 二.判定定理 定理: 极大值. 极小值. 极值的求法： 1）求出函数f(x)的定义域； 2）求出函数f(x)的导数f(x)； 3）令