从调和点列到调和四边形.pdfVIP

20 10年第7期 15 从 调 和 点 列 到 调 和 四 边 形 武炳杰 ( 复旦大学数学科学学院2009级，200433) 中图分类号：0123．1 文献标识码：A 文章编号 ：1005—6416(20 10) 07—00 15—04 定义l 如果A、C、B、D依次为直线上 性质2若点P在00之外，过P作00 的两条切线与00切于点M、Ⅳ，则MN是P 的四个 点，满足历CA=一面DA( 有向线段) ，则称 的极线． ( A、B，C、D) 为调和点列．如果不在这条直线 性质3若过00外一点P作一直线与 上有一点X，则称X( ABCD) ( 包含XA、XB、 00交于点R、 ，线段R 与P 的极线交于点 XC、XD这四条直线) 为调和线束当且仅当 Q，则( P、 ，Q、R) 为调和点列． ( A、 占，C、D) 为调和 点列． 性质4假设A、B、C、D是反演圆上四 特别 的，若C为AB的中点，则可 以认为 点，AB和CD( 或其延长线) 交于点P ，AC和 D是无穷远点． no( 或其延长线) 交于点Q，AD和BC( 或其 引理1 对于任意一条直线截一个线束 延长线) 交于点R，则点P 的极线为衄． 于四点，则这四点调和当且仅当此线束是调 同理 ，点尺 的极线为PQ． 和的． 于是，点Q的极线为PR． 引理2 在△ABC中，x、y、Z分别为 本文运用配极与调和点列的性质，给出 BC、CA、AB上一点，YZ交BC的延长线于点 一些必威体育精装版国内外数学竞赛试题 的另解． x ’，则( B、x ，C、x 7) 为调和点列当且仅当朋、 例1 已知PA、PB是由Go外一点P引 BY、CZ三线共 点． 出的两条切线，肘、Ⅳ分别为线段AP、AB的 引理3 A、C、B、D依次分别为直线上 的 中点，延长MN交00于点C，点Ⅳ在M与C 四个点，则以下两个命题成立时，第三个命题 之间，PC交00于点D，延长ND交PB于点 即能成立． Q．证明：四边形MNQP为菱形． 【l o 命题1 ( A、曰，C、D) 为调和点列． ( 2007 ，泰 国数学奥林匹克) 命题2 XC为 ／_AXB的内角平分线． 证明 如 命题3 XC上肋 ． 图1，由于PA、 定义2在平面上取定一个以0为圆 PB为O0 的 心、r 为半径 的圆．对于不 同于0的任一点 切线，故AB P，作一直线Z通过P的反演像P’( 即0、P、 为点P对00 P’三点共线，且OP ·OP’=r 2) 且垂直于射线 的极线- 图1 OP ．则称直线Z为点P 的极线，P为直线z 的 设PC交 极点． AB于点E．故由配极性质3知( P、E，D、C) 为