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* 第3节 矩阵对策 一．何为对策 对策现象 带有竞争或斗争性质的现象 对策论 (game theory) 用数学方法研究对策现象的分支学科 对策现象的三要素 局中人（player）: 一局对策中的决策者或不相容利益的参与者或竞争者 策略（strategy）： 局中人在整个决策过程中一系列行动的一个方案 支付: 一局对策中最终结局获得的收益或损失 （min-max(max-min) criterion） 最小最大准则 每个局中人总希望取得尽可能大的胜利，即期望的“最小利益” 为 “最大”，“最大损失” 为 “最小”． 对策 有限对策 无限对策 零和对策 非零和对策 离散对策 连续对策 两人有限零和对策 （two-person (finite) zero-sum game ） 局中人只有两人； 每人只有有限个对策； 局中人支付之和为零（赢为正；输为负 ） 两人零和对策 对抗对策（antagonistic game） 矩阵对策（matrix game） 二．实际问题中的矩阵对策模型 e. g. 1 扩大销售模型 公司I，公司II 的同一产品竞争市场份额，各有三种办法扩大销售额（由于市场需求一定，一家扩大，意味另一家缩减），三种方法比如：①改进包装；②广告；③降价．公司I 的三种策略表示为 ，公司II 的三种策略为 ，在不同策略下销售量增长百分比不同．下表中表示公司I 的增长率，而公司II 的即为相反数 公司 I 公司II 2 1 2 3 0 -3 -1 0 -2 矩阵表示为 A 中行的编号为公司I 的编号，称“行方”的策略编号 A 中列的编号为公司II 的编号，称“列方”的策略编号 矩阵 A 称为甲方或行方的支付矩阵 e. g. 2 取暖购煤问题 某公司在秋末需决定冬季取暖用煤问题．根据气温情况，用煤量和煤价均不同，可用下表表示： 正常气温　　　需求量15 吨　　　　200元／吨 较冷气温　　　需求量20 吨　　　 250元／吨 较暖气温 需求量10 吨 150元／吨 问题： 如何在秋末时采购？（即采购计划） 　　　　　 10吨　　　　15吨　　　　20吨　　　　　 较暖　　　　1500　　　　2250　　　　3000 正常　　　　2500　　　　2250　　　　3000 较冷　　　　4000　　　　3500　　　　3000 取暖购煤问题的支付矩阵 e. g. 3 田忌赛马 田忌：强、中、弱三种马，齐王：强、中、弱三种马，齐王每个同级马胜过田忌的马，但田忌的马胜过齐王下一等级的马．三匹马各赛一次，共三次．赢一次得1 分，反之失1 分． 各人赛马的出场次序 有6 种策略 （强中弱）（强弱中）（中强弱）（中弱强）（弱强中）（弱中强） 齐王为行方 田忌为列方 齐王的支付矩阵 e.g.4 福尔摩斯侦探与莫里亚蒂教授争斗 对策论的创始人J. von. Neumann 改写柯南道尔《福尔摩斯探案集》 “福尔摩斯之死”一节的内容． 莫 里 亚 蒂 福尔摩斯 多佛尔下车 坎特伯雷下车 多 坎 100 0 -50 100 莫里亚蒂的支付矩阵 e.g.5 玩命 or 胆小鬼对策 两位驾车人驾车相向行驶，直到最后一秒才决定是拐弯还是不拐弯 可能发生下列几种结果 ◆ 谁也不急拐弯，最后两车相撞 给以0 值 ◆ 两局中人均拐弯 给以值3 ◆ 一位局中人急转弯，另一位未让步而作为赢家 给急转弯者以1 分，不转弯者以5 分 局中人II I 局 中 人 I =急转 =不转 =急转 =不转 3 1 5 0 局中人I 局 中 人 II =急转 =不转 =急转 =不转 3 5 1 0 I 的支付矩阵 II 的支付矩阵 此对策中，若两者都想得5 分，则发生惨祸，全部玩完．实际上两人最好的做法是同时停车或转弯，各得3 分． Remark 此例已不是2 人有限零和对策问题（因为在每个对局中，双方支付的代数和不为零），称为双矩阵对策． e.g.6 双头垄断的价格战略分析 双头垄断 市场上某商品的供给主要由两个公司提供 不完全竞争 公司I 的策略 ＝｛正常价格，低价格｝ 公司II 的策略 ＝｛正常价格，低价格｝ 公司I 的 支付矩阵 公司II 的 支付矩阵 公司I 的角度： 优于