第三章 线性系统的能控性与能观性.ppt

第三章线性系统的能控性和能观性3.1 线性系统能控性和能观性的概念3.2 线性离散系统的能控性3.3 　线性定常系统的输出能控性3.4 线性定常连续系统的能观性3.5 线性定常连续系统的能观性3.6 　线性定常离散系统的能观性3.7 　G(s) 为能控性和能观性的关系3.8 线性定常系统结构分解3.9 　最小实现　　　　　　　　研究系统的目的:更好地了解系统和控制系统. 含义1: 控制作用: 对状态变量的支配能控性. 系统输出能否反映状态变量能观性. 含义2: 能控性:能否找到使任意初态确定终态能观性:能否由输出量的测量值各状态多变系统两个基本问题: 在有限时间内,控制作用能否使系统从初始状态转移到要求的状态? 在有限时间内,能否通过系统输出的测量估计系统的初始状态? 简单地说: 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制,而由任意的始点达到终点,则系统能控(状态能控). 如果系统的所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映,则称系统是状态能观测的. 例1: 给定系统的状态空间描述: 解:展开表明:状态变量, 都可通过选择输入u而由始点终点完全能控. 输出y只能反映状态变量, 所以不能观测. 3.1 　线性系统能控性和能观性的概念Controllability and Observability of linear systems 含义：　　　　　　controllability 能控性：u(t) x(t) 状态方程　　　observability 能观性：y(t) x(t) 输出方程定义：definition 　　　设　　　　　　　　　　若存在一分段连续控制向量u(t) ，能在　　　内将系统从任意状态　转移到任意终态　　　，则该系统完全能控．　说明：任意初态　　　　(状态空间中任一点), 零终态　　＝０　　　　　　　能控零初态　　　　任意终态　　　　2. 状态完全可控（Complete state controllability of continuous time systems 例：　　　　　　　　　　判断能控性解：　　　rank =23, 不能控定理2：若　　　　　，　　　若Ａ为对角型，则状态完全能控的充要条件为：　　　Ｂ中没有任意一行的元素全为零．例：线性系统的状态方程为　　其中：　　试判断该系统的能控性．slution ：　If rank =2, the following condition has to be satisfied 定理3：设　　　　　，　　　若Ａ为约当型(Jordan form) ，则状态完全能控的充要条件是：　　　对应的每一个约当块的最后一行相应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．例：设系统的状态方程为　　其中：　　试判断系统的能控性．解：　　而b1 是任意值，且rank =2 　　则该系统能控．当Ａ的特征值, 　　　　　，且则可以经过将A化为约当型. 如下: 例：设　　　　　　，已知线性变换后系统的能控性不变　　设　　令　　　　　则：　　其中：　　　　　　　定理4：　　设　　如果系统能控，则　　则必存在一个非奇异变换　　可将状态方程化为能控标准型：　其中：且：证明：　　　　　　　(由　　　　推得) 　　例：　　求能控标准型．解：　　　　rank Sc=2 能控　　　3.2 　线性离散系统的能控性定义：设线性定常离散系统的状态方程: 　　　　　　　　　　其中　　　若存在控制向量序列　能在有限时间　　　　内，将系统　第从k步的X(k) 转移到至第n步的x(n)=0 ，则称系统在第k步上是能控的．如果每个k系统的所有状态能控，则称系统为完全能控．定理：设　　　　　则系统完全能控的充要条件：　　　　　rankSc=n 　　　　　其中：证明：(以单输入为例) 　　　设　　　　　　假设：　　　　　为满秩矩阵　　可求出u(0),u(1), u(n-1) 例1：　　判断系统的能控性．　　　　解：　　若已知求u(0),u(1),u(2) 设x(3)=0 　　解得：　　因此，对于任意x(0) ，都能求出u(0),u(1),u(2), 使x(0) x(3)=0 例2：判断能控性能否存在　对任意x(0) x(1)=0 ？解：　　3.4 线性定常系统的输出能控性在分析和设计控制中,系统的被控量往往不是系统的状态,而是系统输出,必须研究系统的输出是否能控.设: 定义:在上,任意　　　　解出u(t), 　输出能控．定理：　　　系统输出完全能控的充要条件：例：判断系统是否输出能控．解：rank[CB CABD]=rank[1 -2 0]=1=q 　　输出能控　　rankSc=rank[b Ab]=12 　　状态不能控3.5 线性定常连续系统的能观性在实际工程实践中,往往需要知道状态变量