高中数学：解三角形中的最值和范围问题.docx

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解三角形中的最值和范围问题

1．在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.

(1)求角的大小；

(2)若，求的最大值.

2．在锐角中，角所对的边分别为，且的面积.

(1)求角A；

(2)若，求的取值范围.

3．在中，角的对边分别是，且．

(1)求角的大小；

(2)若，，是边的中点，求的长．

4．在中，角、、所对的边分别为、、，且，.

(1)求；

(2)若为锐角三角形，求的面积范围.

5．设的内角的对边分别为，已知．

(1)求；

(2)设的角平分线交于点，求的最小值．

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求A；

(2)点D为AC的中点，且，求的最大值．

7．已知的内角的对边分别为，且满足，．

(1)求的大小；

(2)已知是的中线，求的最大值．

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参考答案：

1．(1)

(2)24

【详解】（1）因为，所以，

可得，因为，所以.

（2）由余弦定理可知，即，

因为，所以，

所以，可得，

当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.

2．(1)；

(2)

【详解】（1）∵，∴.

∵，∴，又∵，∴.

（2）∵，

∴

.

∵，∴，∴，

∴，∴，

即的取值范围为.

3．(1)；(2).

【详解】（1）在中，由正弦定理及，得，

而，则，由，知，

因此，解得，

所以角的大小为.

（2）由（1）知，由是边的中点，得，

所以.

4．(1)(2)

【详解】（1）因为，，

所以，因为，

所以，则，因为，

所以，又，则，所以.

（2）设的外接圆半径为，则，

所以，

，

，

，，

因为为锐角三角形，所以，解得，则，

则，所以，所以的面积范围.

5．(1)(2)9

【详解】（1）.

由正弦定理，得

，即，即（2）由题意可得，

即

当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为9.

6．(1)(2)

【详解】（1）由正弦定理有，

又，

所以；因为，

所以，因为，所以，即.

（2）由，得①，

因为，所以，即，解得②，

联立①②，有，即，

所以，

解得（当且仅当时取等，此时），

故的最大值为．

7．(1)(2)

【详解】（1）由于在中，，，

则，则，由于；

（2）因为，，所以，

故，当且仅当，即时等号成立，

故；

由是的中线，得，

即得

，

即得，故的最大值为.