高中数学：弧度制.docx

第二届湘潭市中小学青年教师

教学竞赛教学设计表

教学设计标题：弧度制

学情分析：

学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便；本节课作为三角函数的第二课时，该课的知识还为后继学习任意角的三角函数等知识作铺垫，因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习，我们很容易找出与角对应的实数而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带来很大方便。同时通过本节课学习学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。

教学目标：

(1)能理解弧度的意义;能掌握角度和弧度的换算;了解角的集合与实数集之间的一一对应关系;掌

握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。

(2)在教学过程中通过设置问题情境,培养学生发现和探究问题的能力,提升数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养；领悟概念学习的一般方法和路径。

(3)通过自行车链条的传动和轮子的转动,亲身感受数学与生活的联系;通过合作探究,经历推理获得圆心角与弧长、半径之间的关系的过程,感受弧度制的实质是用弧长与半径的比值来度量角的大小，体会数学的统一美和简洁美。

(4)认识角度制与弧度制都是度量角的方法，二者是辩证统一的;总结概念学习的一般规律，实现知识的内化、吸收和迁移。

教学重点：弧度制的定义；弧度值与角度值的换算

教学难点：弧度制概念的生成与理解

教学过程：

创设情境，引发思考

我们先做一个小调查，请骑自行车上学的同学举手，请骑过自行车的同学举手！

引入问题1：大家都骑过自行车，那你观察过自行车的运动过程么？如图1，通过链条传动的大小齿轮，在运动过程中有哪些相等关系和不等关系呢？

因为通过链条传动，所以两个齿轮在转动时转过的弧长是相等的；而大齿轮的半径大，小齿轮的半径小，所以链条移动确定长度时，大齿轮转过的角度小，小齿轮转过的角度大——弧长l不变时，半径r越大，角度α越小

引入问题2：我们继续观察自行车的后齿轮与后车轮，它们在运动过程中有哪些相等关系和不等关系呢？

两个齿轮在转动时转过的角度是一样的；而因为齿轮的半径小，车轮的半径大，所以虽然他们转过的角度相同，齿轮转过的弧长短，车轮转过的弧长长——角度α不变时，半径r越大，弧长l越大

问题引领，展开探究

问题1：如图所示，在圆O中，设α=n°,OP=r，圆弧PQ的长为l，

学生：由初中的弧长公式可知l

教师：这个公式反映了几个量之间的关系，那你能用其他量来表示圆心角么？

学生：l

教师：从这个式子，我们可以知道，当圆心角不变，则lr就不会变，反过来，如果lr不变，那么其所对应的圆心角也就唯一确

借力史实，建构概念

以上过程，我们感受到了圆心角α与比值lr

问题2：是否可以用比值lr来度量圆心角α

早在1748年，大数学家欧拉就明确提出弧度制思想——使用lr的值来度量角的大小，其单位用rad

追问：角度制中，周角为360°，则周角的360分之1即为1°角，那么弧度制中的1弧度角该如何规定比较合理且简单？

若有l=r则lr=rr=1，那么不妨规定长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）

问题3：1弧度的角有多大？与60°的角

在圆周上截取圆弧AB长为半径长,这时圆心角∠AOB就是1弧度的角，在单位圆（半径为1的圆）中，弧长为1的圆弧所对应的圆心角即为1弧度的角。而选取圆上一点B，使得∠AOB=60°，则AB=r等于AB长，AB

若在半径为r的圆中，弧长为l=2r,l=3r,……的圆弧所对的圆心角的弧度数分别是多少？——2rad,3rad,

若按顺时针方向旋转,得到的弧长为l=r,这时该弧所对的圆心角是多大?——-1rad。

可以得到，正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0。

在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad,则α

因为角α有正负,而l,r都是正数,所以应该是α

其实大数学家欧拉在研究弧度制时，选取的圆是单位圆（半径为1的圆）——在单位圆中，弧长为1的圆弧所对应的圆心角即为1弧度的角。

激活联系，完善认知

问题4：由此我们可以知道，角度值、弧度制都是角的度量值，两者之间如何换算呢？

考虑到一个圆周角为360°和2πrad，由此可以建立角度制和弧度制之间的换算：π

教师：那么，1°

由πrad=180°可知，1°=π180

练习：将67°

67°30=

学生活动一：角度和弧度的互化

角度

-60°

0°

30°

120°

135°

150°

180°

弧度

π

π

π

3π

2π

总结：角