高中数学：南方中学2023级数学小题练.docx

南方中学2023级数学小题练

一、单选题

1．下列命题中错误的有（????）

A．平行向量就是共线向量

B．相反向量就是长度相等且方向相反的向量

C．同向，且，则

D．两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

2．已知点，，，若A，B，C三点共线，则的坐标为（????）

A． B． C． D．

3．在中，，，，则（????）

A．2 B．3 C．4 D．6

4．已知向量，向量满足，若，则向量与的夹角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

5．在中，若，且，那么一定是（）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

6．已知向量，其中，则的最大值是（???）

A．4 B．3 C．2 D．1

7.如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

8．在中，，，所对的边分别是，，，，，且满足，则该三角形的外接圆的面积为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在中，下列式于与的值相等的是（????）

A． B． C． D．

10．设向量，，则下列结论中正确的是（????）

A． B． C． D．

11．下列命题中错误的有（????）

A．的充要条件是且 B．若，，则

C．若，则存在实数，使得 D．

12．的内角的对边分别为，则下列说法错误的是（????）

A．若，则

B．若，，，则有一解

C．若为钝角三角形，则

D．若，，则面积的最大值为

三、填空题

13．设向量，，若向量与平行，则实数．

14．在中，，点M满足，若，则BC的值为.

15．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为米.

16．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则周长的取值范围是.

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数学参考答案：

C

D

3．C

【详解】由题意可知，①

由余弦定理可得，②

由①②解得（负值舍去），故选：C.

4．C【详解】由题意，得，且，

，

设向量与的夹角为，则.故选：C.

5．D

【详解】，则，

因为，所以，则，

又因为，，则，

则，即，

即，又因为，则，

所以，即.

即一定是等边三角形，故D正确.

6．B【详解】由题意得，

，

又因为，所以，所以的最大值为

7．B【详解】如图建立平面直角坐标系，

则∴，

设，，

∴，

又，∴，

解得，∴，

即的最小值为.故选：B.

8．D【详解】，

，即，

又，由正弦定理可知，

，即，

由余弦定理及，得，解得，

由得，

.

9.AC10.BD

11．ABC【详解】对于A：的充要条件是且方向相同，故A错误；对于B：当时，则不一定平行，故B错误；

对于C：当，时，不存在实数，使得，故C错误；

对于D：根据向量加、减法的三角形法则，可知成立，故D正确.

12．ABC【分析】结合在上单调递减，可判定A错误；由正弦定理求得，结合，可判定B错误；若为钝角，得到，可判定C错误；利用余弦定理和基本不等式，结合三角形的面积公式，可判定D正确.

【详解】对于A中，由且，

根据函数在上单调递减，可得，所以A错误；

对于B中，若，可得，

因为，所以，所以为锐角，可得有两解，所以B错误；

对于C中，若为钝角三角形，可能为钝角，此时，所以C错误；

对于D，若，可得，

所以，当且仅当时，等号成立，所以的面积有最大值，所以D正确．

故选：ABC．

13．

【详解】根据题意，得，，

因为向量与平行，所以，解得.

故答案为：.

14．2

【分析】由已知推出M为BC边上靠近C的四等分点，再由向量的线性运算得到，最后求出模长即为答案.

【详解】取BC的中点O，连接AO，因为，即，

所以M为BC边上靠近C的四等分点，，

因为，，，又，

所以，

所以BC的值为2.

故答案为：2

15．

【详解】如图，在中，，，，

由正弦定理，得到，所以，

故答案为：.

16．

【分析】利用余弦定理的边角变换化简题设条件求得，再利用正弦定理与三角恒等变换，将的周长转化为角的表达式，从而利用正弦函数的性质即可得解.

【详解】由余弦定理可得，且，

代入可得，化简可得，

因为，代入可得，

因为，则，

由正弦定理可得，代入，，

可得，则，

则，，

所以的周长为

，

因为，则，所以，

则，即的周长的范围为.

故答案为：.