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凸显角本质的学习路径研究：初识角的概念

【摘要】角是学生认识几何图形的起点，但教材与教学关注较多的是不同角的性质，而不是角的本质。文章提出凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学，并展示第一课时“初识角的概念”。研究者通过教学实践与研讨，得到完善的学习路径：基于现实角，抽象出图形角；通过分类，探索角的特征，得到数学角；通过创造角，理解角的特征。由此提出教学建议：借助分类，初识角的概念；动手创造角，直观感知角的特征。

【关键词】角；角的本质；角的概念；学习路径

一、研究缘起

角是组成几何图形的基本要素之一。人教版数学教材将角的认识分为两个阶段。第一阶段为二年级上册“角的初步认识”。首先，学生通过生活情境直观认识有“尖尖的顶点、直直的边”的图形是角。其次，学生从生活中抽象出“直直的角”是直角，并用直角比一比，知道比直角小的是锐角，比直角大的是钝角。第二阶段为四年级上册“角的度量”。首先，学生在认识线段、射线、直线的基础上学习角的描述性定义，即从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。其次，学生通过比较角的大小的任务，引出度量角的单位——度，以及度量角的工具——量角器，学习如何度量角。最后，学生根据角的动态定义（角可以看作由一条射线绕着它的端点，从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形）学习平角与周角，了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。整个逻辑看似层层递进，实则忽视了非常重要的问题：什么是角的大小？怎样比较角的大小？是边更长，还是覆盖面积更大？量角器是在度量角的什么？为什么使用大小不同的量角器度量出的角的大小是相同的？这些都是困扰学生但教材未解释的问题。究其原因，是教材未讲明角的本质是什么。

何谓角的本质？欧几里得认为，平面角是一个平面上两条线之间的倾斜，它们相交且不在一条直线上。［1］我们对这个说法做了通俗的解释，认为角的本质是一条直线相对于另一条直线的倾斜度。［2］但倾斜度对于学生而言不易理解，要让学生在初次学习角时就理解角的本质，则需要找到一种能使倾斜度直观呈现的外显方式。

江春莲提出，如果从角的本质来说，“张开度”则更为关键。研究角的目的不是研究它的边，而是研究张开度。［2］角的动态定义中虽然没有提及张开度，但暗含了“转动的多少”，而射线绕端点转动的动态过程，就是形成张开度的过程，也就是产生倾斜度的过程。相比于倾斜度和张开度，“转动的多少”不仅更加形象直观，而且与之后要学习的弧度制有异曲同工之处（弧度制本质上就是用转动生成的弧长来度量角的大小），贯穿了角学习的始终。因此，“转动的多少”可以尝试作为角本质外显的呈现方式。

为初步了解学生对角本质的理解情况，笔者对6名二年级学生进行单元前测及访谈。学生需要判断正方形的四个角是否相等，以及沿折痕剪下来后，四个角是否仍然相等（如图1）。测试与访谈的结果显示：在未剪下角时，所有学生都认为四个角相等；沿折痕剪下角后，仅有1名学生坚持认为四个角相等，并能说出理由，其他学生因为角的“边长”、覆盖的“面积”发生变化而改变了答案。由此可以发现，学生对角本质的认识比较模糊，容易受边长的长短、覆盖面积的大小等非本质因素的影响，需要教师的引导。

随后，教师让学生任意画一个角或几个角，发现有4名学生借助三角尺，把三角尺的角描了下来（如图2）。可以发现，学生对角的认识只停留在现实生活中的角，无法从中抽象出数学中的角，因此才会在利用三角尺画角时保留三角尺上因磨损而出现的“圆圆的顶点”。故学生在对角本质进行认识之前，需要先经历从现实世界到数学世界的过程，理解角的特征，初识角的概念。

综上，本研究提出凸显角本质的“角的初步认识”单元整体教学，共分为“初识角的概念”“体验、认识角本质”“巩固、运用角本质”三个课时。本文研究第一课时“初识角的概念”，要解决的问题为：“初识角的概念”学习路径中的关键任务是什么？与原教材相比，该路径在帮助学生理解角的概念上的效果如何？

二、研究设计

（一）研究对象

选取YH小学二年级的甲、乙两个班作为教学班，两个班各有30名学生，班级总体水平一致，由教师A按照本研究设计的学习路径进行备课、授課。

（二）研究流程

学习路径优化、完善的具体流程如图3所示。

（三）问卷及数据处理

后测题目一共有5道小题，要求学生判断给出的图形是否为角，并说明理由（如图4）。后测题目主要考查学生对角的概念中“两条边是否搭牢”“尖尖的顶点”“直直的边”等概念是否已经掌握。

教师对学生的作答情况进行赋分，判断正确并能说出理由记2分，判断正确但不能说明理由记1分，判断错误记0分，最后统计总分。

三、研究结果与分析

（一）学习路径的设计与实施

为探究得到完善的学习路径，本研究经历了三次教学设计、两次教学实践及多次教学研讨。由于篇幅有限，只呈现在乙班开展的优化的学习路径A2（如图5）。

任务1：经历现实角到图