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2024届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高三第一次调研测试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.答题时请按要求用笔。
3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()
A. B. C. D.
2.如图,四边形为正方形,延长至,使得,点在线段上运动.设,则的取值范围是()
A. B. C. D.
3.若复数(为虚数单位),则()
A. B. C. D.
4.若复数(为虚数单位),则的共轭复数的模为()
A. B.4 C.2 D.
5.设,,则的值为()
A. B.
C. D.
6.若,则的值为()
A. B. C. D.
7.已知复数满足:(为虚数单位),则()
A. B. C. D.
8.记为等差数列的前项和.若,,则()
A.5 B.3 C.-12 D.-13
9.集合的真子集的个数为()
A.7 B.8 C.31 D.32
10.设,集合,则()
A. B. C. D.
11.已知复数满足,则的值为()
A. B. C. D.2
12.设双曲线(a>0,b>0)的一个焦点为F(c,0)(c>0),且离心率等于,若该双曲线的一条渐近线被圆x2+y2﹣2cx=0截得的弦长为2,则该双曲线的标准方程为()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知,是互相垂直的单位向量,若与λ的夹角为60°,则实数λ的值是__.
14.曲线在点处的切线方程为________.
15.某校共有师生1600人,其中教师有1000人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为80的样本,则抽取学生的人数为_____.
16.如图,已知扇形的半径为1,面积为,则_____.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知数列的各项均为正数,且满足.
(1)求,及的通项公式;
(2)求数列的前项和.
18.(12分)在中,角、、所对的边分别为、、,角、、的度数成等差数列,.
(1)若,求的值;
(2)求的最大值.
19.(12分)已知函数(),且只有一个零点.
(1)求实数a的值;
(2)若,且,证明:.
20.(12分)已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若的解集包含,求的取值范围.
21.(12分)如图,在斜三棱柱中,侧面与侧面都是菱形,,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
22.(10分)已知六面体如图所示,平面,,,,,,是棱上的点,且满足.
(1)求证:直线平面;
(2)求二面角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
循环依次为
直至结束循环,输出
,选D.
点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.
2、C
【解析】
以为坐标原点,以分别为x轴,y轴建立直角坐标系,利用向量的坐标运算计算即可解决.
【详解】
以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系,不妨设正方形的边长为1,
则,,设,则,所以,且,
故.
故选:C.
【点睛】
本题考查利用向量的坐标运算求变量的取值范围,考查学生的基本计算能力,本题的关键是建立适当的直角坐标系,是一道基础题.
3、B
【解析】
根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.
【详解】
,
,
故选:B
【点睛】
本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.
4、D
【解析】
由复数的综合运算求出,再写出其共轭复数,然后由模的定义计算模.
【详解】
,.
故选:D.
【点睛】
本题考查复数的运算,考查共轭复数与模的定义,属于基础题.
5、D
【解析】
利用倍角公式求得的值,利用诱导公式求得的值,利用同角三角函数关系式求得的值,进而求得的值,最后利用正切差角公式求得结果.
【详解】
,,
,,
,,,
,
故选:D.
【点睛】
该题考查的是有关三角函数求值问题,涉及到的知识点有诱导
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