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2024届黑龙江省哈尔滨三中高三二诊模拟考试数学试卷
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知,满足约束条件,则的最大值为
A. B. C. D.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为、,抛物线与双曲线有相同的焦点.设为抛物线与双曲线的一个交点,且,则双曲线的离心率为()
A.或 B.或 C.或 D.或
3.已知函数(表示不超过x的最大整数),若有且仅有3个零点,则实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()
A. B. C. D.
5.的展开式中,含项的系数为()
A. B. C. D.
6.设,分别为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点,过点作圆的切线与双曲线的左支交于点P,若,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
7.函数的大致图象为
A. B.
C. D.
8.如图,在平面四边形ABCD中,
若点E为边CD上的动点,则的最小值为()
A. B. C. D.
9.等比数列中,,则与的等比中项是()
A.±4 B.4 C. D.
10.设为虚数单位,为复数,若为实数,则()
A. B. C. D.
11.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()
A. B.
C. D.
12.设为等差数列的前项和,若,则
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.某校高三年级共有名学生参加了数学测验(满分分),已知这名学生的数学成绩均不低于分,将这名学生的数学成绩分组如下:,,,,,,得到的频率分布直方图如图所示,则下列说法中正确的是________(填序号).
①;
②这名学生中数学成绩在分以下的人数为;
③这名学生数学成绩的中位数约为;
④这名学生数学成绩的平均数为.
14.已知函数,则不等式的解集为____________.
15.已知数列中,为其前项和,,,则_________,_________.
16.的展开式中常数项是___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,角的对边分别为,且,.
(1)求的值;
(2)若求的面积.
18.(12分)已知A是抛物线E:y2=2px(p>0)上的一点,以点A和点B(2,0)为直径两端点的圆C交直线x=1于M,N两点.
(1)若|MN|=2,求抛物线E的方程;
(2)若0<p<1,抛物线E与圆(x﹣5)2+y2=9在x轴上方的交点为P,Q,点G为PQ的中点,O为坐标原点,求直线OG斜率的取值范围.
19.(12分)已知曲线的参数方程为为参数,曲线的参数方程为为参数).
(1)求与的普通方程;
(2)若与相交于,两点,且,求的值.
20.(12分)已知中心在原点的椭圆的左焦点为,与轴正半轴交点为,且.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作斜率为、的两条直线分别交于异于点的两点、.证明:当时,直线过定点.
21.(12分)椭圆:()的离心率为,它的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是直线上任意一点,过点作圆的两条切线,切点分别为,,求证:直线恒过一个定点.
22.(10分)如图,在四棱柱中,平面,底面ABCD满足∥BC,且
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合即可得到结论.
【详解】
作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,
等价于,作直线,向上平移,
易知当直线经过点时最大,所以,故选D.
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.
2、D
【解析】
设,,根据和抛物线性质得出,再根据双曲线性质得出,,最后根据余弦定理列方程得出、间的关系,从而可得出离心率.
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