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2024届衡水市第十三中学高三下学期第五次调研考试数学试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知三棱锥的外接球半径为2,且球心为线段的中点,则三棱锥的体积的最大值为()
A. B. C. D.
2.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”,例如.执行该程序框图,则输出的等于()
A.16 B.17 C.18 D.19
3.下列命题为真命题的个数是()(其中,为无理数)
①;②;③.
A.0 B.1 C.2 D.3
4.若集合,则()
A. B.
C. D.
5.双曲线的渐近线方程是()
A. B. C. D.
6.已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为()
A. B. C. D.
7.已知向量,,且与的夹角为,则()
A. B.1 C.或1 D.或9
8.设等差数列的前项和为,若,,则()
A.21 B.22 C.11 D.12
9.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()
A. B.
C.1 D.3
10.已知定义在上的偶函数,当时,,设,则()
A. B. C. D.
11.如图,在平行四边形中,为对角线的交点,点为平行四边形外一点,且,,则()
A. B.
C. D.
12.复数的虚部为()
A.—1 B.—3 C.1 D.2
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率为_______.
14.正四棱柱中,,.若是侧面内的动点,且,则与平面所成角的正切值的最大值为___________.
15.如图,半球内有一内接正四棱锥,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为__________.
16.若函数,则使得不等式成立的的取值范围为_________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)当时,求曲线在点的切线方程;
(2)讨论函数的单调性.
18.(12分)已知在多面体中,平面平面,且四边形为正方形,且//,,,点,分别是,的中点.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19.(12分)已知集合,,,将的所有子集任意排列,得到一个有序集合组,其中.记集合中元素的个数为,,,规定空集中元素的个数为.
当时,求的值;
利用数学归纳法证明:不论为何值,总存在有序集合组,满足任意,,都有.
20.(12分)选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵A=(k≠0)的一个特征向量为α=,
A的逆矩阵A-1对应的变换将点(3,1)变为点(1,1).求实数a,k的值.
21.(12分)已知
(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;
(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.
22.(10分)已知函数
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若函数的值域为A,且,求a的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】
由题可推断出和都是直角三角形,设球心为,要使三棱锥的体积最大,则需满足,结合几何关系和图形即可求解
【详解】
先画出图形,由球心到各点距离相等可得,,故是直角三角形,设,则有,又,所以,当且仅当时,取最大值4,要使三棱锥体积最大,则需使高,此时,
故选:C
【点睛】
本题考查由三棱锥外接球半径,半径与球心位置求解锥体体积最值问题,属于基础题
2、B
【解析】
由已知中的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,代入四个选项进行验证即可.
【详解】
解:由程序框图可知,输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.
若输出,则不符合题意,排除;
若输出,则,符合题意.
故选
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