《杨辉三角的性质与应用》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】.docx

《数学探究　杨辉三角的性质与应用》教学设计 一、知识结构框图 二、教学目标 1．结合对杨辉三角性质的探究和应用杨辉三角解决问题，经历发现数学关联、提出数学问题、得到数学结论、推理论证、综合应用的过程，掌握数学探究活动的方法，提升数学学科核心素养． 2．在对杨辉三角性质的探究和应用过程中，经历从类比模仿到自主创新、从局部实施到整体构想的过程，初步掌握数学课题研究的基本方法，培养遵守学术规范、坚守诚信底线的科学研究素养． 三、重点、难点 重点：杨辉三角性质的发现和证明，利用杨辉三角解决古算题和其他领域的问题． 难点：杨辉三角性质的应用． 四、探究过程 【情境引入】 杨辉三角的历史探源 图1名为开方作法本源图，现在杨辉算书的传本中都没有这个图，只在明朝《永乐大典》（1407）抄录的《详解九章算法》中还保存着这份宝贵遗产，可惜《永乐大典》被掠至英国，现藏在剑桥大学图书馆内．《详解九章算法》由杨辉所著，他在书中提到“出释锁算书，贾宪用此术”．这说明，在我国至迟贾宪时期就已经发明了这个数字三角形．关于贾宪的生平，所知甚少．根据一些记载，只能推定贾宪著书的年代是在1023年至1050年这段时期． 贾宪用这个数字三角形来进行开方，所以称为“开方作法本源”．而在宋元时期，数学家将开方或解数字方程称为“释锁”，故此图出现在《释锁》算书中．后来，朱世杰（1303）、吴敬（1450）、程大位（1592）等古代数学家均引用并发展了开方作法本源图．借助此图，古代数学家们开高次方、解高次方程，创造出了具有中国古代数学独特风格的高次方程的数值解法． 设计意图：杨辉三角是我国数学史上的一个伟大成就，从数学角度体现了中华优秀传统文化．因此，教科书就从这里入手，给出了《详解九章算法》一书中的开方作法本源图，简单介绍了数学家杨辉，以及杨辉三角的由来．同时，这一段关于历史发展的介绍也是数学探究活动的背景，能够让学生在杨辉三角的演变中，了解为什么要研究杨辉三角，杨辉三角在我国的发现时间比欧洲早500年左右等，从而激发学生的民族自豪感和“一探究竟”的兴趣． 【课堂探究】 （一）杨辉三角性质的探究 1．探究的方法 发现和提出问题： 观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连连线，算一算，写出你发现的结论． 活动：（1） “观察”． 不是单纯地看一看，它包含着积极的思维过程，要有目的，如数字排列的规律；要随时比较，如数字间的关系和差异；等等． （2） “实验”． 创造一些条件和方法辅助思维，如圈一圈、连一连、算一算等．而这些观察和实验的结果正是归纳推理的基础． （3） “归纳”． 通过观察和实验，获得一定素材后，就可以进行归纳，作出初步的结论，然后用数学语言描述出来，就是一个猜想，即一个数学问题． 具体活动： 以杨辉三角的基本性质Cnr＝Cn-1r-1＋Cn-1 通过连线和计算，如图4，发现除了三角形的两个腰上的数字都是1，其余的数都是它肩上两个数相加，从特殊到一般，就归纳出结论： Cnr＝Cn-1 发现结论和写出结论：由学生自己完成．例如观察和实验的指导，应关注于在数字三角形中圈一圈、连一连、算一算等手段的尝试；关注于有目的的观察，相邻行之间、各行数字的和等（图2）． 基于观察、实验和归纳，学生会获得很多关于杨辉三角的结论，这里列出一些最基本的结论（更多的结论见“五、探究活动参考资料”），供教学时参考： （1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Cnr＝ （2）递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Cnr＝Cn-1 （3）第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Cn0＋Cn2＋Cn4＋…＝C （4）第n行数的和为2n，即Cn0＋Cn1＋Cn （5）第n行各数平方和等于第2n行中间的数，即（Cn0）2＋（Cn1）2＋（Cn2）2＋…＋（ （6）自腰上的某个1开始平行于腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜右下方的那个数，即Crr＋Cr+1r＋Cr+2 设计意图：杨辉三角性质的探究，是这个数学探究活动的重点，将杨辉三角作为一个探究主题有两个主要原因：一是由于前面提到的杨辉三角本身所具有的数学、数学思维和数学文化上的魅力；二是由于杨辉三角的直观性和性质的丰富性，既有“一目了然”的性质，也有“深藏不露”的性质，所以它可以让不同发展水平的学生都能探究，并有所收获． 分析和解决问题 利用已学知识，尝试对所得结论进行证明 在数学上，当我们获得一个猜想之后，必须要证明它，所用的就是逻辑推理的方法．从观察和实验，到归纳和猜想，再到推理和论证，这是一个完整的数学探究过程，数学探究中的“推理论证”不同于科学探究中的“实验验证”，数学中的结论一旦得到证明，是不会改变的，而科学中经过实验验证的结论有时会在若干年后推翻重建． 注意强调推理论