《二项式定理的应用》示范公开课教学设计【高中数学人教A版】.docx

《二项式定理的应用》教学设计 教学目标 1．通过对二项式定理的复习，正确理解和区分二项展开式中的二项式系数、展开式中项的系数、通项等概念，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题； 2．通过练习掌握与二项式定理有关的习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算素养； 3．在知识应用的过程中，体会知识之间的内在逻辑联系，感受“赋值法”，“构造法”等数学方法． 教学重点：二项式定理的应用． 教学难点：二项式定理及二项式系数性质的灵活应用． 教学过程： 【复习回顾】 问题1 的展开式是什么？我们是如何得到这个公式的？ 答案：我们用两个计数原理分析的展开式，归纳地得到的展开式，并用计数原理证明得到公式． 练习 写出的展开式． 解： 练习 写出的展开式． 解： 问题2 的二项展开式形式上有哪些特点？通项是什么？ 答案：(1)的二项展开式共有项； (2)各项的次数都等于二项式的次数； (3)字母按降幂排列，次数由递减到；字母按升幂排列，次数由递增到． 通项是展开式的第项： 练习 求的展开式的第项． 解：的展开式的第项是 ． 问题3 二项式系数是什么，有哪些性质？ 答案：二项式系数是各项的系数 (1)对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值．当时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当为偶数时，中间的一项取得最大值；当为奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和 ． 奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等． 问题4 二项式系数与系数相同吗？ 练习 求 的展开式中的二项式系数与系数． 解： 的展开式中含的项是： 二项式系数是，系数是． 结论：二项展开式中某一项的二项式系数与这一项的系数不一定相同． 某一项的二项式系数是指的二项展开式中项的中的组合数，它只与各项的项数有关，而与的值无关； 某一项的系数，如本题中，的系数是指中除变量外的常数部分． 设计意图：本节课是学习了二项式定理及二项式系数的性质基础上的一节复习课，通过复习相关知识与方法，巩固所学内容，加深对这部分知识的理解． 【知识应用】 题型一　二项式定理 例 求的展开式中，的系数． 解：， 的系数为 练习 求的展开式中的系数． 解：的展开式的通项是 ． 令，解得． 所以，的系数是． 练习 已知二项式的展开式中第项与第项的二项式系数之比中，求的系数． 解：的展开式的通项是 由展开式中第项与第项的二项式系数之比中， 可得：,即． 解得或（舍去）． 令，解得． 所以的系数为． 练习 求的展开式中的系数． 解：不考虑系数，的展开式中含的项由和合并而得． 中含的项为，其系数为． 中含的项为，其系数为． 所以的系数为． 设计意图：通过例题与练习帮助学生巩固所学习的内容：求二项展开式中的特定项或指定项的系数的基本步骤． 例 在展开式中,含的项的系数为,求实数的值． 解：的展开式的通项是 ． 令，解得． 由含的项的系数为, 可得, 解得． 练习 在的展开式中,的系数是含的系数与的系数的等差中项．如果实数，求的值． 解：的系数为，的系数为，的系数为， 根据题意有， 即． 解得． 由于，所以的值为． 设计意图：巩固已知二项展开式某项的系数求参数的方法． 题型二　二项式定理的应用 例 若展开式的二项式系数之和为,求展开式中含项的系数． 解：展开式的二项式系数之和为,解得． 展开式的通项为． 令，解得． 所以含项的系数为． 例 求的展开式中各项系数的和． 解：令，这时的值就是展开式中各项系数的和，其值为 因此，答案为或． 练习 已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大，求展开式中二项式系数最大的项． 解：令得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为 ， 所以有．所以． 因为，故展开式共有项，其中二项式系数最大的项为第3项和第4项． 所以，． 设计意图：正确区分二项式系数的和与各项的系数和． 例 用二项式定理证明能被整除． 解：因为 所以能被整除． 练习 用二项式定理证明能被整除． 解： 中各项都能被8整除，因此能被整除． 设计意图：利用二项式定理解决整除问题． 练习 求 的值． 解：原式即为的展开式， 由 ， 得 ． 【归纳小结】 通过本节课的学习，我们复习了哪些知识和方法？在学习的过程中，又有怎样的体会？ 1． 求二项式展开式的特定项，关键是用好二项式展开式的通项公式． 2． 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是二项式系数和问题的常用解法． 3． 利用二项式定理可以证明整除性问题，证明时要注意变形的技巧，通常利用构