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若 n 维 随 机 变 量 ( , 1 )
X X k k n 的 联 合 概 率 密 度 函 数 为 f X (x) ,
n
x (x ,1 k n) , 如 何 求 X 经 变 换 (记 为 L ) 后 的 n 维 随 机 变 量
k
Y (Y g (X ),1 k n) 的分布或联合概率密度函数 .
k k
def
设变换 L : ( ( ),1 ) ( ( )) n , n ,
y yk g k x k n g x x
def
g( x ) (g ( x),1 k n) ,对应的逆变换 L : x ( x h (y),1 k n) (h( y)) n ,
k k k
n
y , h( y) (h ( y),1 k n) ,其中 g , h 是 n 元(博雷尔可测)函数 .
k k k
记 X 和 Y 的取值范围为 G { x : f X (x ) 0, x n} ,
xi
G { y : y g( x), x G} . J det 为变换的雅可比( Jacobi)行列式 .
yi n n
命题 若上述变换 L 满足:
g h
(1)变换 L : G G 存在唯一的逆变换 L : G G ;
(2 ) g , h 有连续偏导数(分别在 G 和 G 上);
k k
(3)在 G 中, J 0 (几乎处处) .
def
则 n 维随机变量向量 ( ( ),1 ) ( ( ))
Y Y
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