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专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算;【教材母题】
已知等边三角形ABC(如图Z15-1).
(1)以点A为旋转中心,将△ABC按逆时针方向
旋转30°,作出旋转后的图形;
(2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没
有互相垂直的边?证明你的判断.(浙教版九上
P110第5题)
解:(1)如答图所示;
(2)AD⊥BC,DE⊥AC,AB⊥AE.证明略.
;【思想方法】 旋转前、后的图形全等,所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系,或通过旋转(割补)图形,把分散的已知量聚合起来,便于打通解题思路,疏通解题突破口.;【中考变形】
1.如图Z15-2,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,AE与BD交于
点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点
F,连结OC,FG,则下列结论:①AE=
BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC
=∠EOC,其中正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4;2.如图Z15-3,P是等腰直角△ABC外一点,把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,已知∠AP′B=135°,P′A∶P′C=1∶3,则P′A∶PB= ( );【解析】 如答图,连结AP,
∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′,
∴BP=BP′,∠ABP+∠ABP′=90°.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,∠CBP′+∠ABP′=90°,
∴∠ABP=∠CBP′.
在△ABP和△CBP′中,;整理课件;3.如图Z15-4,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交DC于点F,BD分别交CE,AE于点G,H.试猜想线段AE和BD的位置及数量关系,并说明理由.;整理课件;4.如图Z15-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n
度后,得到△DEC,点D刚好落在AB边上.
(1)求n的值;
(2)若F是DE的中点,判断四边形ACFD的
形状,并说明理由.
解:(1)∵将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后,得到△DEC,
∴CD=CA,
∴△ACD是等腰三角形.;∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠A=60°,
∴△ACD是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∴n=60;
(2)四边形ACFD是菱形.理由如下:
∵△ACD是等边三角形,
∴AC=CD=AD,∠ADC=60°.
又∵∠ACB=90°,∴∠DCB=30°,
∴∠DCB=∠B,;整理课件;(1)求证:△APP′是等腰直角三角形;
(2)求∠BPQ???大小;
(3)求CQ的长.;解:(1)∵△ADP沿点A旋转至△ABP′,
∴根据旋转的性质可知,△APD≌△AP′B,
∴AP=AP′,∠PAD=∠P′AB,
∵∠PAD+∠PAB=90°,
∴∠P′AB+∠PAB=90°,
即∠PAP′=90°,
∴△APP′是等腰直角三角形;;整理课件;整理课件;【中考预测】;(1)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度,如图②,试判断AD与CF还相等吗?说明你的理由;
(2)他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图③,请你求出CF的长.
解:(1)AD与CF还相等.
理由:∵四边形ODEF,四边形ABCO为正方形,
∴∠DOF=∠COA=90°,DO=OF,CO=OA,
∴∠COF=∠AOD,∴△COF≌△AOD(SAS),
∴AD=CF;;中考预测答图
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