数学随机变量数字特征.pptxVIP

第四章 随机变量的数字特征;§4.1 随机变量的数学期望; 分析：若甲射击N次, 设击中8环, 9环和10环的次数分别为 次，则甲在N次射击中，平均每次击中的环数为; 定义 设离散型随机变量X的概率分布为;解 易知 ; 例2 按规定，某公交车每天8点至9点和9点至10点都恰有一辆到站，各车到站的时刻是随机的，且各车到站的时间是相互独立的，其规律为;解 候车时间X的分布列为; 求随机变量X和Y的数学期望．; 定理1 设二维离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布为; 定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分;试证X的数学期望不存在．;求X的数学期望. ;例6 设二维连续型随机变量的概率密度函数为; 定理2 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为 f (x, y), 则有 ;3. 随机变量函数的数学期望; (3) 如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为 P{ X=xi Y=yj} = pij i,j =1,2,3,…,;解 因为 ;解 ;解 ;例9 设二维随机变量 ; 例10 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从[1200，3000]上的均匀分布．若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润?;;证 可将C看成离散型随机变量，分布律为 P{X=C}=1，故由定义即得E(C)=C.; 3. 设 X, Y 为任意两个随机变量，都有 ;4. 设X, Y为相互独立的随机变量，则有;解 设随机变量; 例11 一民航机场的送客班车载有20位旅客，自机场开出，沿途旅客有10个车站可以下车．如到达一个车站没有旅客下车班车就不停．设每位旅客在各个车站下车是等可能的（P＝0.9）， 且各旅客是否下车相互独立，以X表示停车的次数，求E(X) ;解 ;解;1.离散型; 由第一节我们知道，随机变量的数学期望 可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期 望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们 仍用类似于第一节中的例子来说明。; 容易算得，二人击中环数的平均值都是 8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的 更稳定？;一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距 平均值的偏差的均值来比较。为了防??偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应 由偏差的绝对值之和求平均更合适。; 所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为 0.64 环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平 发挥更稳定些。;定义(离差):设X为随机变量,EX存在,称X-EX为离差;;;方差的性质:; 从而;性质 （5）可以推广到多个相互独立的 随机变量的情形。例如，当 相互 独立时，成立 ; 例1 对服从（0—1）分布的随机变量 X ，分布列为; 由上节中的例14 知 其中 服从同一（0—1）分布：;例 已知随机变量X服从二项分布， 且E（X）= 2.4, D(X)=1.44, 则二项分布的参 数n,p的值为（ ） ① n=4,p=0.6 ② n=6, p=0.4 ③ n=8,p=0.3 ④ n=24,p=0.1; 例3 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，求; 例4 对服从[a，b]区间上均匀分布的随机 变量X ，计算;几何分布;f(x);例5 已知 求;求EX和DX.;练习:;;练习： 设X是一随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ2(μ,σ>0常数)， 则对任意常数C，必有（ ）。; 例7 设随机变量 X 的期望E（X）和方差 D（X ）都存在，则称; 可见，标准化随机变量的期望是 0 ，方差是1 。因此，把随机变量标准化，可以使所讨;论的问题变得较简单，这种处理问题的方法在概率与数理统计中时有应用。例如，随机变量 X 服从正态分布 把 X 标准化 则 服从标准正态分布 ,于是要求 X