第九章重积分及曲线积分概要.pptVIP

第九章 重积分及*曲线积分 一、二重积分的概念、性质 二、二重积分的计算 (3) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 2.利用极坐标系计算二重积分 例1. 计算 例2. 计算 例3. 计算 例7 计算二重积分 * * * 二、二重积分 的计算 1.直角坐标系下二重积分的计算 2.极坐标系下二重积分的计算 一、二重积分的概念、性质 1. 二重积分的定义(和式的极限) 3. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） （1）若D为 X – 型区域 则 = 先y后x的二次积分 1.直角坐标系下二重积分的计算： 穿线定内限，夹线定外限 根据积分区域的形状以及被积函数的特点，适当 选择直角坐标或极坐标，选择积分次序. （2）若D为 Y – 型区域 则 = 先x后y的二次积分 既可采用先y后x的二次积分，也可采用先x后y的二次积分，为计算方便,可选择适当的积分次序. (4) 若积分域较复杂,可将它分成若干部分，使每部分 是X-型区域或Y-型区域 , 则 直角坐标系与极坐标系下的二重积分之间的关系： q 的上下限 关键是定出 , r 然后化为先 的二次积分. 后 积分限确定方法: 穿线定内限，夹线定外限. 将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”： （1）极点在区域外部（如图1） 具体地分以下几种情况讨论如下： 图1 设 则 其中 在区间 上连续. （2）极点在区域的边界（如图2） 图2 设 则 （3）极点在区域内部（如图3）： 图3 设 则 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, D 解二 D： Y—型 D 例4 计算 解一 D： X—型 解 x y R o 解 在极坐标系下，区域D可表为： 其中D 为圆周 所围成的闭区域. 解: 利用极坐标 原式= * * *