云南省开远四中高二数学 三垂线定理 说课案课.pptVIP

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* 三垂线定理 a A P o α 复习: 什么叫平面的斜线、垂线、射影? 如果a α, a⊥AO, 思考a与PO的位置关 系如何? a A P o α PO是平面α的斜线, O为斜足; PA是平面α 的垂线, A为垂足; AO 是PO在平面α内的射 影. 三垂线定理 性质定理 判定定理 性质定理 线面垂直 ① 线线垂直 ② 线面垂直 ③ 线线垂直 PO 平面PAO a⊥PO ③ 学生答:a⊥PO 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 为什么呢? PA⊥α a α ① PA⊥a AO⊥a ② a⊥平面PAO 三垂线定理 P a A o α 1、三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射 影)、a(直线)之间的垂直关系。 2、a与PO可以相交,也可以异面。 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和 平面内的一条直线垂直的判定定理。 对三垂线定理的说明: 三垂线定理 例题分析: 1、判定下列命题是否正确 (1)若a是平面α的斜线、直线b垂直于a在平面 α内的射影,则a⊥b。 ( ) 2°定理的关键找“平面”这个参照学。 强调:1°四线是相对同一个平面而言 (2)若a是平面α的斜线,b是平面α内的直线, 且b垂直于a在β内的射影,则a⊥b。 ( ) × × 三垂线定理 2、如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,连结BD1, AC,CB1,B1A,求证:BD1⊥平面AB1C ∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线D1B在平面ABCD上的 射影 ∵AC在平面AC内,∴BD1⊥AC A1 D1 C1 B1 A D C B 而AB1, AC相交于点A且都在平面 AB1C内 ∴BD1⊥平面AB1C 证明:连结BD, 请同学思考:如何证明D1B⊥AB1 连结A1B 三垂线定理 关于三垂线定的应用,关键是找出平面(基准面)的垂线。 至于射影则是由垂足、斜足来确定的,因而是第二位的。 从三垂线定理的证明得到证明a⊥b的一个程序:一垂、 二射、三证。即 第一、找平面(基准面)及平面垂线 第二、找射影线,这时a、b便成平面上的一条直线与 一条斜线。 三垂线定理 第三、证明射影线与直线a垂直,从而得出a与b垂直。 例3、道旁有一条河,彼岸有电塔AB,高15m,只有测角 器和皮尺作测量工具,能否求出电塔顶与道路的距离? 解:在道边取一点C, 使BC与道边所成水平角等于90°, 再在道边取一点D, 使水平角CDB等于45°, 测得C、D的距离等于20cm B A C 90° D 45° 三垂线定理 B A C 90° D 45° ∵BC是AC的射影 且CD⊥BC ∴CD⊥AC ∵∠CDB=45°,CD⊥BC,CD=20cm ∴BC=20m, 在直角三角形ABC中 AC2=AB2+BC2,AC= 152+202 =25(cm) 答:电塔顶与道路的距离是25m。 因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。 三垂线定理 AH为PA在平面ABC内的射影 ∴BC⊥AH 在Rt△PBC中,PE= ------ = ---- 在Rt△APE中,AE= PA2+PE2= 9+ --- = ---- 4×6 42+62 12 13 144 13 2 29 2 29 13 例4、设PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=3,PB=4, PC=6,求点P到平面ABC的距离。 A P C B E H 解: 作PH⊥平面ABC, 连AH交BC于E,连PE ∵PA、PB、PC两两垂直 ∴PA⊥平面PBC ∴PA⊥BC 三垂线定理 *

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