2013版高考数学一轮复习精品学案：2.2函数的单调性与最值.docVIP

2013版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用 2.2函数的单调性与最值 【高考新动向】 一、考纲点击 1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义； 2．会运用函数图象理解和研究函数的单调性、最值。 二、热点、难点提示 1.确定函数单调性、单调区间及应用函数单调性求值域、最值，比较或应用函数值大小，是高考的热点及重点. 2.常与函数的图象及其他性质交汇命题. 3.题型多以选择题、填空题形式出现，若与导数交汇则以解答题形式出现. 【考纲全景透析】 一、函数的单调性 （1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2，改变量⊿x= x2- x10 当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1 x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 （2）单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做f(x)的单调区间。 注：①单调区间是定义域的子区间 ②函数的单调性反映在图象上是在某一区间上是上升的或下降的；而最大（小）值反映在图象上为其最高（低）点的纵坐标的值。 二、函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M 存在x0∈I，使得f(x0)=M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)=M 结论 M为最大值 M为最小值 注：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。 相关提示：①函数的单调区间与该函数定义域间的关系 函数的单调区间是该函数定义域的子集；函数的定义域不一定是函数的单调区间。 ②一个函数在定义域内的单调性与在某几个子区间上的单调性的关系 如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增（减）函数，不能说这个函数在定义域上是增（减）函数，如函数 ③相同单调性函数的和、差、积、商函数的单调性 两个增（减）函数的和函数仍是增（减）函数，但两个增函数的差、积、商的函数单调性不确定，同样两个减函数的差、积、商的函数单调性也不确定。 ④奇函数在对称区间上的单调性 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。因此，具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性。 ⑤求函数单调性解题策略 看函数的类型，如果是基本函数，常常记住函数的单调区间； 如果是复杂函数，常常利用导数进行研究； 如果是抽象函数，常常利用定义解决，或者借助图象，或者用具体函数代替处理。 【热点难点全析】 一、函数单调性的判定 1、用定义证明函数单调性的一般步骤 ，即： （1）取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1 x2. （2）作差：即f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。 （3）定号：根据给定的区间和x2- x1符号，确定差f(x2) –f(x1)(或f(x1)-f(x2))的符号。当符号不确定时，可以进行分类讨论。 （4）判断：根据定义得出结论。 2、利用导数的基本步骤是： 2、求函数的单调性或单调区间的方法 （1）能画出图象的函数，用图象法,其思维流程为: （2）由基本初等函数通过加、减运算或复合运算构成的函数，用转化法，其思维流程为： （3）能求导的用导数法，其思维流程为： （4）能作差变形的用定义法，其思维流程为： 注：函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制。例如函数y=1/x在内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为，不能用“∪” 2．例题解析 〖例1〗(2011·江苏高考)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是______. (2)判断函数在(-1，+∞)上的单调性. 【方法诠释】本例为判断函数的单调性或求函数的单调区间. (1)转化为基本初等函数的单调性去判断； (2)可用定义法或导数法. 解析：(1)函数f(x)的定义域为(，+∞)，令t=2x+1(t0), 因为y=log5t在t∈(0,+∞)上为增函数，t=2x+1在(，+∞)上为增函数，所以函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为(,+∞). 答案：(，+∞) (2)方法一：定义法：设x1x2-1, 则 ∵x1x2-1,x2-x10,x1+10,x2+10, 即y1-y20,y1y2.在(-1,+∞)上是减函数. 方法二：导数法： ∴在(-1