数理经济学课件（厦门大学 朱平辉）.ppt

数理经济学 主讲：朱平辉 第一讲：导论 一、数学在经济学中的应用 1、数学语言可以清楚地描述前提假设，这使得经济学的推理与分析过程呈现出数理逻辑的严谨性。例如，边际效应价值实际上是在对效用函数进行测定的基础上，运用一系列联立方程组推导的结果。社会资源最优配置的帕累托最优理论，也是运用联立方程组对生产和交换均达到最优配置下社会福利最大化的阐述。 2、数学方法使经济学拥有了一个统一的语话体系，并进而使经济学的发展具有了一个共同的基础，让后人较容易在已有的研究工作上继续开拓，也使得在深层次上发现似乎不相关的结构之间的关联变成可能。西方经济学就是在这一共同的话语体系下获得长足的发展。 3、数学表述具有文字性表述不具备的确定性与精确性。数学推导具有数理上的逻辑性，运用数学模型讨论经济问题，学术争议便可以建立在这样的基础上：或不同意对方前提假设；或找出对方论证错误；或是发现修改原模型假设会得出不同的结论。这样可以有效地避免经济学理解上的歧义，避免基于不同理解而发生的毫无意义的争论，从整体上提高经济学家的工作效率。 4、数理经济学的理论使实证研究方法运用的更加深入。数理经济学为计量经济学建模提供框架，计量经济学就是运用经济学理论、数学方法与统计数据开展实证研究的学科，开展实证研究具有明显的优点： 其一，以经济理论与数学模型为基础可以发展出用于定性和定量分析的计量经济模型； 其二，证据的数量化使得实证研究具有系统性； 其三，使用精致复杂的统计方法可以让研究者从已有的数据中最大限度地汲取有用的信息，从系统的数据中定量地检验理论假说、估计参数的数值。 5、目前，英美许多经济学杂志取舍稿件的重要标准之一就是是否建立了数学模型，是否采用计量方法，如果论文不是有意识地使用一组代数符号的话，那么，该论文便会自动被视为毫无价值而遭拒绝。 参见：韦敏，《对经济学数学化的思考》，“财经科学”，2003年，第3期。 二、本课程的教学安排与要求 本课程以理性假设为基础的主流经济学的理论体系的主要数学方法——最优化的理论与方法——为主要内容。教学安排包括两部分：一部分是教师讲解形式的以”最优化理论”为主的课堂教学；另一部分是以同学为主体的外文教科书的阅读。 要求： 第二讲 凸集与凸函数 一、凸集 凸集的概念 定义1：设S为n 维欧氏空间En中一个集合。若对S中任意两点，连结它们的线段仍属于S；换言之，对S中任意两点x (1),x (2)及每个实数λ [0，1]，都有 λx（1）+（1-λ）x (2) S 则称S为凸集。 λx(1)+（1-λ）x(2)称为x(1)和x(2)的凸组合。 例1、集合H={x│pTx=α}为凸集。该集合也称为欧氏空间中的超平面，故称为超平面凸集。 例2、集合H-={x│pTx≤α}为凸集，称为半空间，故也称为半空间凸集。 例3、集合L={x│x=x(0)+ λd, λ≥0}为凸集。其中d是给定的非零向量，x(0)为定点。该集合称为射线，x(0)为射线的顶点。故也称为射线凸集. 设S1和S2为En中两个凸集，β是实数，则 βS1={βx│x S1}为凸集。 S1∩S2为凸集。 S1+S2={x(1)+x(2) │x(1) S1,x(2) S2}为凸集。 S1-S2={x(1)-x(2) │x(1) S1,x(2) S2}为凸集。 有限个点的凸包导出多胞形和单纯形的定义。 Caratheodory定理 根据定义，在集的凸包中一点能表示为这个集合中有限个点的凸组合。下面的定理指出，集S的凸包中任一点都可以表示为S中至多n+1个点的凸组合。 证明 在凸集中，比较重要的特殊情形有凸锥和多面集。 凸集分离定理 凸集的另一个重要性质是分离定理。在最优化理论中，有些重要结论可用凸集分离定理来证明。 该定理表明，当S为闭凸集，y S时， y与S是可分离的。显然，当S为非空凸集，不一定为为闭集，y clS时，定理结论也是成立的。这里clS表示S的闭包（由S的内点和边界组成的集合）。进而可以证明，当S为非空凸集，y S （ S表示S的边界）时，下列定理成立。 在上式中，令y≥0，y的分量可取得任意大，因此可得 Ax≤0 因此知道非零向量x是Ax≤0,c Tx0的解。 二、凸函数 凸函数的定义 定义：设S是 中的非空凸集，f是定义在S上的实函数。如果对任意的x(1),x(2) S，及每个λ （0，1），都有 则称f为S上的凸函数。 如果对任意互不相同的x(1),x(2) S，及任意的λ（0，1）都有 则称f为S上的严格凸函数。 如果-f为S上的凸函数，则称f为S上的凹函数。 凸、凹函数的几何意义如下图： 2、凸函数的推广 拟凸函数 定义：设S是 中的非空凸集，f