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《全国高中数学联赛一试强化训练题集》word版

第1章函数

1.1集合

1.1.1经典方法

类型1集合中的存在性问题

例1

设A1,A2,?,A50是有限集合X

(分析)这种题目并没有什么特别好的求解办法,只能一个一个把这5个元素找出来,也可以先将题目简化成简单形式,看是否方便理解一些,但这里我们不这样求解.对于这类问题,我们一般考虑每个元素出现的次数,其中最值得考虑的是出现最多的次数(如2016全国高中数学联赛一试的第三题).

(证明)设集合X中元素个数为n,子集A1,A2,?,A50中每一个都含n2个以上的元素,即所有这些子集的元素个数大于50?n2=25n.由抽屉原理,必有集合X的元素,它至少属于26个子集(出现至少26次).同理可证,对于每个k50,在子集Ai

本题思维方法综述当n和k较小时,可以作为小学生竞赛题,数目增大后却成为了高中竞赛题.假设我们在分析较小的数时可以找出规律,而这实际上也是很简单的,那么整道题目也就迎刃而解了.这就告诉我们,遇到这类整数问题时,应该时时刻刻想到先将数目变小寻找规律,然后再求解题目本身.

类型2子集的个数问题

例2

元集合具有多少个不同的不交的无序子集对(两个空集构成的子集对也符合？)

分析1一般想法是对于一个固定的子集,求出与它不交的子集个数,然后就可以求出总的子集对的数目.

(解法1)如果子集对是有序的,即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集,则第一个子集若有k个元素,第二个子集就由其余n-k个元素组成,可能的情况有2n-k种,而这时第一个集合的选取的可能情况应有Cnk种,那么k从0变到n,总的情况可能就有∑k=0n?

分析2可以从元素的角度来思考问题.对一个元素来说,它有3种不同的选择:它或在第一个集合中;或在第二个集合中;或不在两个集合中.

解法2在计算有序对的数目时,对每一个固定的元素来说有3种可能:它或在第一个子集中;或在第二个子集中;或不在两个子集中.因此不同的不交有序子集对的总数是3n

分析3显然本题从n+1到n

解法3设A1,A2,?,As是{1,2,?,n}的所有子集,满足题意的不交的无序子集对共有an个.{1,2,?,n,n+1}的所有子集是A1

本题思维方法综述本题对题目的不同分析使我们得到了差异很大的解法1和解法2.解法1从题目要求着手,很容易想到计数的时候有意识地固定一个集合再进行求和,但求最后解却不见得那么简单,而解法2类似于集合分析,一般很难想到,但想出后比较容易求解.两种解法的对比体现了数学思维的两个方面:一个是纯代数想法,以计算的方法替代对题目更深层次的研究;另一个则是挖掘题目本身的内在关系,找出最合适的解答.本题显然从固定元素出发更简捷,但我们推荐解法2.解法3也要有意识地去考虑,如果n+1到n

类型3子集中元素的挪动问题

例3

把2n个元素的集合分为若干个两两不交的子集,按照下述规则将某一个子集中某些元素挪到另一个子集:从前一子集挪到后一子集的元素个数等于后一子集的元素个数(前一子集的元素个数应不小于后一子集的元素个数).证明:可以经过有限次

(解)考虑含奇数个元素的子集(如果有这样的子集),因为所有子集所含元素的个数总和是偶数,所以具有奇数个元素的子集个数也是偶数,任意将所有含奇数个元素的子集配成对,对于每对子集按题目要求的规则移动:从较大的子集挪出一些元素,添加到较小的子集中,挪出的元素个数为较小子集的元素个数,于是得到的所有子集的元素个数都是偶数.现在考虑元素个数不被4整除的子集,如果n=1,则总共有2个元素,它们在同一个子集,因此设n?2,因为子集的元素个数的和被4整除,所以这样的子集的个数为偶数,任意将这样的子集配成对,对于每一对子集实行满足题目要求的挪动,于是得到的每个子集数均可被4整除,依此进行下去,最后得到的每个子集元素个数均可被2n

本题思维方法综述首先考虑2n是一个很特殊的数,其次我们发现若两个集合的元素个数除以2的若干次幂后所得结果为奇数,那么它们之间挪动后就应为偶数这一事实成立.若还不能想到解答方法,试一下n

本题的证明中隐含了一种单一变量在变化时变化方向相同这一性质.就本题来说,一直在增加的就是各子集元素个数被2的n次幂整除的n幂次数,这是一大类问题,除了这种变化量,还要经常考虑变化中的不变量.

1.1.2.80分钟疯狂刷题

1.设全集为R,若A={x∣

2.若集合A={1,2,3,m},B=

3.已知a,b∈R,集合A=

4.设集合A={1,2,3,?,99},B={2x

5.求{1,2,?,100}的所有子集元素的和之和为

6.设集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11},子集M中任意两数之差不等于4或7,则|

7.设集合A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,?,n},在集合A中取