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639期
【概率】今年高考概率会再次爆冷压轴吗？
今天，小π又发现一地模考卷将概率作为压轴题，没记错的话，近几天已经有好几地的模考卷将概率作为后两道压轴题的了，比如茂名二模、杭州二模等等。今天这道题出自江西省名校协作体联盟第二次联考模拟考试，而且这道题与以往的概率题不同之处在于，此题直接以数列为基础考概率（原题如下）。
以最近质量比较好的模考卷的看，今年高考以概率数列为压轴题的几率还是不小的！鉴于此，这一期小π先分析这道题，然后再为大家系统梳理总结一下概率考点，包括二项分布、超几何分布、以及二者区别联系、复杂概率计算、条件概率、全概率与贝叶斯公式、随机游走与马尔科夫链等。最后在汇总一下近期优质概率模考题。
【江西省名校协作体二联T21
【江西省名校协作体二联T21】
21.小强在闲暇之时设计了如下一个数列，满足：，当为偶数时，，当为奇数时，有的概率是，有的概率是.
（1）求的数学分布列和数学期望；
（2）求的前项和的数学期望.
一、此题详解
（1）可能取到的值有、、、、、、
则的分布列为
所以
（2），
由题意可知，
又成立，则
令，则
令，则
，
，即
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令，，，则
【点睛】可先列出到的可能值及其概率树状图，再找规律。
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二、关于概率考点总结
【知识精讲】
【二项分布】
【二项分布】
1．重伯努利试验的概念
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验．（关注微信公众号：Hi数学派）
2．重伯努利试验具有如下共同特征
（1）同一个伯努利试验重复做次；
（2）各次试验的结果相互独立．
3．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：，如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作
4．一般地，可以证明：如果，那么.
【超几何分布】
【超几何分布】
1．超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的期望
E(X)＝eq\f(nM,N)＝np(p为N件产品的次品率)．
【二项分布与超几何分布的区别】
【二项分布与超几何分布的区别】
1．看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.
2．看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.
3．看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果或，一般考查二项分布.
4．看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.
5.．看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.（关注微信公众号：Hi数学派）
6．把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.
【二项分布的两类最值之（1）】
【二项分布的两类最值之（1）】
（1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题.
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【分析】当时，，随值的增加而增加；当时，
，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值.
注意：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大.
【二项分布的两类最值之（2）】
【二项分布的两类最值之（2）】
（2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，
这可以用导数求函数最值与最值点.
【分析】
当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值.
【复杂概率计算】
【复杂概率计算】
（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”.
（2）理解事件中常见词语的含义：（关注微信公众号：Hi数学派）
A,B中至少有一个发生的事件为A∪B；A,B都发生的事件为AB；A,
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