【概率】温州一模 几何分布具象化的例子（解析版）.docxVIP

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1231期

温州一模几何分布具象化的例子

该篇素材选自昨天考的浙江省温州市普通高中2025届高三第一次适应性考试第8题。该题并不难，之所以讲此题，只是因为该题是一道有关几何分布具象化的例子，可以帮助同学们拓展学习一下几何分布。这篇借此题给同学们总结一下高中三大分布，相应的期望和方差，以及如何推导的。

一、这道关于几何分布具象化的例子

二、二项分布

1、定义

2、中心项

3、期望

4、方差

三、超几何分布

1、定义

2、期望

3、方差

四、几何分布

1、定义

2、期望

3、方差

4、无记忆性

一、这道关于几何分布具象化的例子

【浙江温州25届高三一模T8】（关注微信公众号：Hi数学派）飞行棋是一种家喻户晓的竞技游戏，玩家根据骰子（骰子为均匀的正六面体）正面朝上的点数确定飞机往前走的步数，刚好走到终点处算“到达”，如果玩家投掷的骰子点数超出到达终点所需的步数，则飞机须往回走超出点数对应的步数.在一次游戏中，飞机距终点只剩3步，设该玩家到达终点时投掷骰子的次数为X.则EX=

解析：由题意得，无论飞机在何处，离终点的距离只可能是1，2，3，4，5

也就是无论前面掷了多少次骰子（都没到达终点），只要最后再掷一次骰子，总有16

即

P

即X服从几何分布

由几何分布的期望公式可得（关注微信公众号：Hi数学派）

E

注：该题还可以利用期望递推来做，假设已经投掷了EX-1

则再投掷1次骰子到达终点的概率为16，没到达的概率为1-16)，即在第E

所以

E

解得

E

这种期望递推的操作主要利用的是几何分布无记忆性的性质，下文中有讲解，存在无记忆性的概率模型都可以利用概率递推来做，比如同学们已经熟知的马尔可夫链模型，有关概率递推的技巧典例可以参考小派之前的推文\h《传球问题的期望用递推做该会了！》，《1197期条件期望，全期望公式听过吗？》

二、二项分布

1、定义

二项分布：若随机变量X的分布列为PX=k=Cnkpkqn-k,?k=0,1,2,?,n

由二项式定理知（关注微信公众号：Hi数学派）

1

因此，该分布列满足应当具备的两条性质，定义是合理的.这也是称它为二项分布的原因.显然，B1.p

在相同条件下，将同一试验重复进行，且各次试验的结果是相互独立的，这样的试验称为独立重复试验.将伯努利试验独立重复n次为n重伯努利试验.

下面举一个例子，说明二项分布与n重伯努利试验的关系，

【二项分布典例】在n重伯努利试验中设每次试验事件A发生的概率为p.以X记n重伯努利试验中事件A发生的次数.（关注微信公众号：Hi数学派）

解析：

令Ai={第i次试验时事件A发生}，i

{

其中等式右边的并共有Cnk项，而且是互不相容、等概率的

P

其中q=1-p.因此，PX=k

注：二项分布描述了n重伯努试验中某事件A发生次数的概率分布.二项分布是重要的离敬型分布之一，它以n重伯努利试验为模型，在实践中有着广泛的应用.

2、中心项

下面的定理表明二项分布的分布列先递增后递减。

二项分布中心项定理：设随机变量X～Bn,p，则P(X=n+1p=max0≤k≤n{PX=k

证明：

对0≤

P

因此PX=k≥PX

称n+1p为二项分布

PX=

递推式PX=kPX

下面，举一个关于二项分布的例子，

【典例】设每台自动机床在运行过程中需要维修的概率均为p=0.01，且各机床需要维修相互独立.（关注微信公众号：Hi数学派）

（1）每名维修工人负责看管20台机床，求不能及时维修的概率；

（2）3名维修工人共同看管80台机床，求不能及时维修的概率；

（3）假定有这种机床200台，为使不能及时维修的概率在0.02

解析：

设X为需要维修的机床数

（1）X

P

（2）X

P

（3）因为X～B200,

P

而

P

即r=

注：可以看出，（2）的工作效率高.直观上这是容易理解的，因为在（2）的情形，当同时出现多台需要维修的机床时维修工人之间可以相互协助，以此提高及时维修的概率，当然，我们没有考虑维修需要的时间、管理成本等因素，因此在实际应用中还应该作更细致的分析。另外，n越大二项分布的计算量越大，直接计算是很麻烦的.

3、期望

二项分布的期望：

E

证明：（关注微信公众号：Hi数学派）

E

4、方差

二项分布