《数学归纳法》(好).pptVIP

：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法

结论一定可靠

结论不一定可靠

考察全体对象,得到一般结论的推理方法

考察部分对象,得到一般结论的推理方法

归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法

归纳法

思考：归纳法有什么优点和缺点？

优点：可以帮助我们从一些具体事

例中发现一般规律

缺点：仅根据有限的特殊事例归纳

得到的结论有时是不正确的

解:

猜想数列的通项公式为

验证:同理得

啊,有完没完啊?

正整数无数个!

（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？

（2）你的猜想一定是正确的吗？

情境二

二、引导探究，寻求解决方法

1、第一块骨牌倒下

2、任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下

条件（2）事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第K块倒下，则相邻的第K+1块也倒下

(二)师生互助

多米诺骨牌游戏原理

（1）当n=1时，猜想成立

根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立。

三、类比问题，师生合作探究

（一）类比归纳

当一个命题满足上述（1）、（2）

两个条件时，我们能把证明无限问题

用有限证明解决吗?

（二）理解升华

一般的，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）【归纳奠基】证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;

（2）【归纳递推】假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

从而就可以断定命题对于n0开始的所有正整数n都成立。

这种证明方法叫做数学归纳法。

（四）提炼概念

四、例题研讨，学生实践应用

（一）典例析剖

（二）变式精炼

用数学归纳法证明

1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝

用数学归纳法证明

n2

即当n=k+1时等式也成立。

证明：

1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］

那么当n=k+1时

（2）假设当n＝k时，等式成立，即

（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。

（假设）

（利用假设）

注意：递推基础不可少，

归纳假设要用到，

结论写明莫忘掉。

（凑结论）

（三）能力提升

证明：

（1）当n=1时，

左边=12=1

等式成立

(2)假设当n=k时等式成立,即

那么,当n=k+1时

即当n=k+1等式也成立

凑出目标

用到归纳假设

数学归纳法步骤，用框图表示为：

归纳奠基

归纳递推

注：两个步骤,一个结论,缺一不可

思考1：试问等式2+4+6+…+2n＝n2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？

解:设n＝k时成立，即

这就是说，n＝k+1时也成立

2+4+6+…+2k＝k2+k+1

则当n=k+1时2+4+6+…+2k+2(k+1)

＝k2+k+1+2k+2＝(k+1)2+(k+1)+1

所以等式对任何n∈N*都成立

事实上，当n＝1时，左边＝2，右边＝3

左边≠右边，等式不成立

该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何n∈N*都成立，为时尚早

证明：①当n=1时，左边＝

右边＝

②假设n=k时，等式成立，

等式成立

这就是说，当n=k+1时，等式也成立

根据（1）和（2），可知等式对任何n∈N＊都成立

即

第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求

因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。

1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)

条时，第一步检验n等于()

A.1B.2

C.3D.0

解析：因为n≥3，所以，第一步应检验n＝3.

答案：C

2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，

在验证n＝1时，等式左端计算所得的项是()

A.1B.1＋a

C.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3

解析：因为当n＝1时