专题06 拓展：对勾函数、飘带函数、V型函数、高斯函数的四大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）.docxVIP

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专题06拓展:对勾函数、飘带函数、V型函数、高斯函数的四大题型

TOC\o1-3\h\z\u题型一：对勾函数的应用 3

题型二：飘带函数的应用 12

题型三：V型函数的应用 19

题型四：高斯函数的应用 21

【知识点综述】

知识点01对勾函数

1.定义

形如的函数，其图象类似于两个勾，故称之为对勾函数.

2.图象与性质

详解式

图像

定义域

渐近线

值域

奇偶性

奇函数

单调性

在上是增函数，在是减函数

在上是增函数，在是减函数

【注】基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，

知识点02飘带函数

1.定义

形如的函数，其图象类似于两根飘带，故称之为对勾函数.

2.图象与性质

详解式

图象

定义域

渐近线

值域

奇偶性

奇函数

单调性

在上是增函数

在是减函数

知识点03V型函数

1.定义

函数fx=±kx+b+ck≠0图象类似于符号“V”，故称之为V

2.图象与性质

其图象如下图所示：

性质：其图象的对称轴方程为x=?bk,顶点坐标为

fx=

fx=?kx+b+c

4.广义V型函数（推广）:

设ai为正的常数,bi和c为常数i=1,2,?,n,我们称函数fx=a1x?b1+a2x?b2+?+anx?bn+c为广义V形函数(可以仍称为V形函数).

知识点04高斯函数

1.定义

记x表示不超过实数x的最大整数,例如:3.4=3,?2.1=?3,这一规定最早为数学家高斯所使用,故函数

2.性质

（1）定义域:R；值域:Z.

（2）不具有单调性、奇偶性、周期性.

题型一：对勾函数的应用

1.函数的最小值为（????）

A．2 B． C．3 D．

【答案】C

【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递增，

所以，

故选：C

2.已知函数，，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用换元法将函数，转化为，利用双勾函数的性质求得的值域，根据二次函数的性质求得的值域，再根据对于任意，总存在，使得成立，则由的值域包含的值域求解.

【详解】，，

，，

设，则，则函数等价为，

由对勾函数的单调性可得，

时，单调递减，

时，单调递增，

当时，函数取得最小值，，

当时，，当时，，

设函数的值域为，则函数的值域；

由，在0,1上是减函数，

则最大值为，最小值，，

设的值域为，则，

若对于任意，总存在，使得成立，

则等价为，即，解得，

所以实数的取值范围是.

故选：D．

3.（多选）已知函数，下面有关结论正确的有（????）

A．定义域为 B．值域为

C．在上单调递减 D．图象关于原点对称

【答案】ABD

【分析】根据题意，结合定义域的求法，基本不等式，以及函数单调性的定义和奇偶性的判定的方法，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数有意义，则满足，

所以函数定义域为，所以A正确；

对于B中，当时，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，所以；

当时，可得，

当且仅当时，即时，等号成立，所以，

所以函数的值域为，所以B正确；

对于C中，函数在上单调递减，所以C不正确；

对于D中，函数定义域为，关于原点对称，

且满足，所以函数为奇函数，

函数的图象关于原点对称，所以D正确.

故选：ABD.

4．（多选）（24-25高一上·江西吉安·期中）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（????）

A．4 B．12 C． D．

【答案】AD

【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可.

【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增，

若，即时在上单调递增，所以，

，

所以，解得；

若，即时在上单调递减，所以，

，

所以，解得（舍去）；

当，即时在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

若且，即，，

所以，解得或（舍去）；

若且，即，，

所以，解得或（舍去）；

综上可得或.

故选：AD

5.设，则的取值范围是______．

【答案】

【详解】设函数，则当时，单调递增，此时；

当时，单调递减，此时，

故，则的取值范围是，

6.已知函数，，则的值域为．

【答案】

【详解】由题意得，．

令，则，则可化为．

∵函数，在上均为增函数，

∴在上为增函数，

∵时，，时，，

∴的值域为．

7．（24-25高一上·甘肃武威·期中）已知勾函数在和内均为增函数，在和内均为减函数．若勾函数在整数集合内为增函数，则实数的取值范围为．

【答案】

【详解】根据题意在，内为