专题05 权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链应用的四大题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019必修第一册（解析版）.docxVIP

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专题05权方和不等式、柯西不等式、基本不等式链应用的四大题型

题型一：应用权方和不等式求最值

题型二：应用柯西不等式求最值

题型三：应用柯西不等式证明不等式

题型四：基本不等式链的应用

【知识点综述】

1．柯西不等式（Cauchy不等式）（拓展）

（1）二元柯西不等式：对于任意的，都有．

（2）元柯西不等式：，取等条件：或（）．

2．权方和不等式

（1）二维形式的权方和不等式

对于任意的，都有．当且仅当时，等号成立．

（2）一般形式的权方和不等式

若，，，则，当时等号成立．

3.基本不等式链

,当且仅当时,等号成立.

其中分别为平方平均数,算术平均数,几何平均数,调和平均数.可利用上述不等式链在各平均数间进行放缩、转化.

题型一：应用权方和不等式求最值

权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.

在代数式符合权方不等式的左边或右边的形式时，可以用权方和不等式快速求得相应代数式的最值.

1.函数的最小值为（???）

A．39 B．52 C．49 D．36

【答案】B

【解析】因为，

因为，所以，，

根据权方和不等式有：，

当且仅当时，即时等号成立.

所以函数的最小值为.

故选：B

2.(2024·江西·一模）已知正数x，y满足，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是．

【答案】.

【分析】利用权方和不等式求解即可

【解析】，所以实数a的取值范围是.

3．的最大值为

【答案】

【解析】

当且仅当，即或时取等号，故答案为：.

4.已知a，b，c为正实数，且满足，则的最小值为.

【答案】2

【解析】由权方和不等式，可知

==，

当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.

5.已知正数，，满足，则的最小值为

【答案】

【分析】根据权方和不等式可得解.

【解析】因为正数，满足，

所以，

当且仅当即时取等号.

6．已知，求的最小值为

【答案】

【分析】应用权方和不等式即可求解.

【解析】

当且仅当时取等号

7．已知，且满足，则的最小值为.

【答案】

【分析】由权方不等式，结合已知等式进行求解即可.

【解析】由权方和不等式，可知，

，当且仅当时取等号，

即当时取等号，

所以的最小值为.

题型二：应用柯西不等式求最值

高中阶段主要应用二元柯西不等式解决相应的问题，

二元柯西不等式如下：对于任意的，都有，

对于上述形式左边或右边的代数式为定值时，往往能利用基本不等式求得另一边代数式的最值，但利用柯西不等式求解，可以直接一步到位，快速求得最值.

而不少于三元的柯西不等式的应用往往以新定义题的形式出现.

8．柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（）

A．14 B．12 C．10 D．8

【答案】A

【解析】因为，

根据题目中柯西不等式的三元形式可知，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值是，

故选：A

9．（2025·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（????）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【解析】，由，解得，

当时，，当，，

当，则，

此时且，

由柯西不等式可得，

当且仅当，即时取等号，此时，即，

所以函数的最大值为2.

故选：C.

10.(多选)（24-25高一上·江西景德镇·期中）柯西不等式（Cauchy-SchwarzInequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式：

①对于所有实数和，有.

②等式条件：当且仅当时，等号成立.

例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（???）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AD

【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误.

【解析】对于A选项，根据柯西不等式.

因为，所以，即.

所以，则，当且仅当时取等号，

A选项正确.

对于B选项，令，，则.

根据柯西不等式.

即.当且仅当取等号，

所以，B选项错误.

对于C选项，根据柯西不等式.

因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误.

对于D选项，令，，则.

根据柯西不等式.

因为，所以.当且仅当取等号.

所以，D选项正确.

故选：AD.

11.（多选）（24-25高一上·新疆·期中）已知，，且不等式恒成立，则的取值可能是（????）

A． B．