分数的四种定义.pptxVIP

分数的四种定义;分数知识是数学素养的重要构成部分.在欧美各国的数学课程中，分数大多被放在中学(6～7年级)，我国的分数课程则要早某些。20世纪60年代，分数内容安排在五年级，目前则在四年级上学期，甚至三年级就开始学习了。这也许是由于中文数学名词“三分之一”“几分之几”，精确又达意，轻易理解。而“三分之一”的英文体现是“one—third(一和第三)”，这就比较费解了。东亚的许多使用中文的国家和地区，学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好，听说与此有关。;分数该怎样定义?一般地，有如下四种：

??定义1(份数定义)：分数是把单位”1”平均提成若干份,表达其中的一份或几份。

???定义2(约定义)：分数是两个整数相除(除数不为0)的商。

???定义3(比定义)：分数是整数m与整数n(n≠0)之比。

定义4(公理化定义)：有序的整数对(p，q)，其中p≠0。;?

????小学中,一般这样定义:将单位“1”平均提成若干份，表达这样的一份或几份的数叫做分数。表达把单位“1”平均提成多少份的数a(a≠0)叫做分母，表达取了多少份的数b叫做分子。分数写成b/a，读作a分之b。这一定义的好处是直观、明白易懂，强调了“平均分”，尤其对“几分之几”做了贴切的阐明，对理解后来的分数运算也有很重要的价值。不仅可以分一种物体，还可以分一群物体。在教学上，选择合适的单位是理解分数的份数定义的关键。此外，把1/b作为分数单位加以强调，能协助学生理解分数的含义。在教学中，我们强调“平均分”是必要的。同步，也要注意平均分只是各个部分的地位相似，外观不一定相似。例如，12辆汽车中，8辆是卡车，4辆是轿车，问轿车是所有汽车的几分之几?12粒糖中，巧克力有4粒，问巧克力占多少?这里平均分的是汽车、糖，而不在意详细内容。

;不过，用份数来定义分数，也有不少缺陷。首先，一份或几份的说法，仍然和自然数靠得很近，没有显示出这是一种新的数。另一方面，平均分一种大饼之后其中的一份或几份的说法，常常会误解为分数总是不不小于1(比一种大饼小)。再次，由于分大饼或其他直观图的???维定势，不能合适选择单位，形成思维上的僵化。如下的调查可供我们思索.;;;调查成果显示：看到1/4的学生有94.83％，不过，看到3/4的学生只有33.62％。尤其是看到1/3的学生只有9.48％，这阐明学生选择单位的能力很差。

因此，分数的份数定义可以作为起点，不过，不适宜过度强调，应当迅速向更抽象的分数定义转移。

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“分数是整数b除以整数a(a≠0)所得的商。”根据这一定义，假如a可以整除b，那么，其商仍然是整数。不过，假如a不能整除b，那么，b/a是什么数呢?这就需要将整数扩展，引入新的数——分数。分数的真正来源，在于自然数除法的推广。1个大饼，由4个人平均分，得到有确定大小的一块大饼。对于这个客观存在的量，依除法的意义，应当是1÷4所得的商。可是，这种除数大、被除数小的除法，此前是不能除的，因而，也没有“商”的。于是，“创新”的机会来了。我们把已经认识的自然数当做“老朋友”，把1÷4的商看做“新朋友”，它的名字叫做四分之一。认识了这样的“新朋友”，任何两个自然数之间的除法就可以进行了。于是有这样的定义：分数是两个自然数a、b(a≠0)相除的商。b÷a的商是新数b/a，读作a分之b。当a能整除b，尤其是b=l时，分数就是自然数。

;?从数学的观点来看，这一定义体现了分数的本质，符合数系扩张的数学思想。

目前的小学数学教材大多回避这一定义，只是用“分数和除法的关系，分数是分子除以分母”这样不着边际的话蒙混过去。实际上，小朋友可以懂得：1个大饼给2个人平均分，每人只能分得二分之一——即“二分之一”。这时，脑子里假如一直是半个大饼，那就还没有学好分数。我们应当协助学生想到“二分之一”即1/2，是一种新的数，它比1小。假如4个人平均分1个大饼，每个人得到1/4，它也是一种新的数。显然1/41/2。???;;在过渡到分数的约定义时，在数直线上对分数作几何解释是非常重要的。这是一种半抽象的模型。线段模型是圆模型和其他平面模型的“再抽象”，可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。用线段的长度表达分数的大小，无论大饼、蛋糕有多大，这里的单位都是1。切下来的1份或2份，脑子里不再局限地展现1或2，而是一种新的数。这样表达的好处诸多。

;首先，它的单位是抽象的“1”。虽与圆形、三角形相比，较抽象，不过仍然是几何直观，可以协助学生感知分数的含义。另一方面，这是数