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考研数学三微积分模拟试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、填空题：请将答案填在横线上方

1.极限lim(x→0)(e^x-cosx)/x^2=________.

2.函数f(x)=x^3-3x+2在区间(-2,2)内的极大值点是________.

3.曲线y=ln(x^2+1)在点(1,ln2)处的切线方程为________.

4.若函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0,lim(x→0)[f(x)-xsinx]/x^2=1,则f(0)=________.

5.不定积分∫x*arctan(x^2)dx=________.

6.定积分∫[0,π/2]sin^3xcosxdx=________.

7.反常积分∫[1,+∞)(1/x^p)dx收敛，则实数p的取值范围是________.

8.级数∑(n=1to∞)(-1)^(n+1)*(n/2^n)的收敛半径R=________.

9.幂级数∑(n=0to∞)a_n*(x-2)^n的收敛域为(-1,5)，则幂级数∑(n=0to∞)(a_n/3)*(x+1)^n的收敛域为________.

10.函数y=x^3-3x^2+2在区间[0,3]上的最小值是________.

二、解答题：请写出详细的解答过程

1.讨论函数f(x)=(x^2-1)/xsin(x/2)(x≠0)在x=0处的连续性和可导性。若在x=0处可导，求f(0)。

2.求函数f(x)=x^2*e^(-x^2)的单调区间、凹凸区间、拐点以及水平渐近线。

3.计算定积分∫[0,1]x*arctan(x^2)dx。

4.讨论级数∑(n=1to∞)(n^2/(n^3+1))的收敛性。

5.求幂级数∑(n=1to∞)(x/2)^n/n^2的收敛域，并在其收敛域内求和函数S(x)。

6.设函数f(x)在[0,1]上连续，且满足f(x)=∫[0,x]tf(t)dt。求函数f(x)。

7.计算y=x^3-3x^2+2在点(2,0)处的曲率。

8.求由曲线y=√x和y=x^2与直线x=1所围成的平面图形的面积，并计算该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

试卷答案

一、填空题

1.1/2

2.1

3.y=x-1

4.1

5.(1/2)*x^2*arctan(x^2)-(1/4)*ln(x^2+1)+C

6.1/4

7.p1

8.2

9.(-4,2)

10.0

二、解答题

1.解析思路：

*检查极限lim(x→0)f(x)是否存在且等于f(0)（若f在x=0定义）。这里f(0)未定义，需用极限定义。

*计算lim(x→0)f(x)=lim(x→0)[(x^2-1)/xsin(x/2)]=lim(x→0)[(x-1/x)/sin(x/2)]=lim(x→0)[2(x-1/x)/x]=-2。由于极限存在，但f(0)未定义，故f(x)在x=0处不连续。

*计算极限lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x（需定义f(0)为-2）。计算lim(x→0)[(x^2-1)/xsin(x/2)-(-2)/x]/x=lim(x→0)[(x^2-1)/x^2sin(x/2)+2/x^2]=lim(x→0)[(1-1/x^2)/sin(x/2)]+lim(x→0)[2/x^3]=-∞。此极限不存在，故f(x)在x=0处不可导。

2.解析思路：

*求导数f(x)=2x*e^(-x^2)-2x^3*e^(-x^2)=2xe^(-x^2)(1-x^2)。

*求驻点：令f(x)=0，得x=0或x=±1。

*求二阶导数f(x)=2e^(-x^2)(1-x^2)-2x*e^(-x^2)*(-2x)=2e^