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青岛理工大学概率统计期末试卷及答案

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、

1.设随机事件A,B满足P(A|B)=P(A)，且P(A∪B)=1/2，P(B)=1/3，则P(A)=______。

2.一批产品共有10件，其中正品3件，次品7件。从中不放回地随机抽取3件，则抽到次品件数X的分布律为__________。

3.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=1)=P(X=2)，则λ=______。

4.设随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则P(X≤-1)=______。

5.设随机变量X的概率密度函数为f(x)={c(x+1),0≤x≤1;0,其他}，则常数c=______。

二、

1.设随机变量X的分布函数为F(x)={0,x0;(1-e^(-x))/2,x≥0}。

(1)求P(X≤1)；

(2)求随机变量X的概率密度函数f(x)；

(3)求E(X)和Var(X)。

三、

设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为

f(x,y)={kxy,0≤x≤1,0≤y≤x;0,其他}。

(1)确定常数k；

(2)求边缘概率密度函数f_X(x)和f_Y(y)；

(3)求X和Y是否相互独立；

(4)求E(XY)。

四、

设随机变量X和Y相互独立，且X服从N(1,4)，Y服从N(0,9)。

(1)求Z=2X-Y的分布；

(2)求E(3X+5Y)和Var(3X+5Y)。

五、

设总体X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2已知为4。现从该总体中抽取容量为n=16的样本，样本均值为x?。

(1)求参数μ的矩估计量；

(2)求参数μ的极大似然估计量；

(3)当x?=2.6时，求μ的95%置信区间（已知标准正态分布表：Z_(0.025)=1.96）。

六、

某产品的寿命X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中参数μ和σ^2均未知。现抽取容量为n=25的样本，测得样本均值x?=1000小时，样本标准差s=100小时。检验假设H_0:μ=950vsH_1:μ950。

(1)写出检验统计量；

(2)指出拒绝域（显著性水平α=0.05）。

试卷答案

一、

1.1/3

2.P(X=k)=C(7,k)*C(3,3-k)/C(10,3),k=0,1,2,3

3.2

4.1-(1-Φ(1))=1-0.8413=0.1587(使用标准正态分布表或计算器)

5.1/2

二、

1.(1)P(X≤1)=F(1)=(1-e^(-1))/2≈0.3167

(2)f(x)=F(x)={(1/2)e^(-x),x≥0;0,其他}

(3)E(X)=∫_0^∞x*(1/2)e^(-x)dx=1(分部积分或利用泊松分布性质)

E(X^2)=∫_0^∞x^2*(1/2)e^(-x)dx=2(分部积分)

Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=2-1^2=1

三、

(1)∫_0^1∫_0^xkxydydx=1=k∫_0^1[x(y^2)/2]|_0^xdx=1=k∫_0^1(x^3/2)dx=1=k(1/8)=1=k=8

(2)f_X(x)=∫_0^x8xydy=8x(x^2/2)=4x^3,0≤x≤1;0,其他

f_Y(y)=∫_y^18xydx=8y∫_y^1xdx=8y[(1^2)/2-(y^2)/2]=4y(1-y^2),0≤y≤1;0,其他

(3)f_X(x)*f_Y(y)=4x^3*4y(1-y^2)=16x^3y(1-y^2),0≤x≤1,0≤y≤1≠f(x,y)(在(0,0)附近，乘积密度不为原联合密度)，故X和Y不独立。

(4)E(XY)=∫_0^1∫_0^x8x^2y^2dydx=8∫_0^1