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初中数学函数复习专题与习题集

函数，作为描述变化规律的重要数学模型，贯穿于初中数学的核心，也是连接代数与几何的桥梁。掌握函数的概念、图像和性质，不仅是应对中考的关键，更是未来学习更高层次数学的基石。本专题旨在帮助同学们系统梳理初中阶段所学函数知识，巩固基础，明晰重点，突破难点，并通过针对性习题提升综合运用能力。

一、函数的基本概念与表示方法

（一）函数的定义

在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

理解要点：

1.两个变量：存在相互依赖的两个量。

2.唯一性：对于自变量x的每一个确定值，函数y有且只有一个值与之对应。这是判断是否为函数关系的核心依据。

（二）函数的表示方法

1.解析法：用数学式子表示函数关系的方法。例如，y=2x+1，y=1/x(x≠0)。

*优点：简洁、准确，便于进行理论分析和运算。

2.列表法：通过列出表格来表示两个变量之间的函数关系。例如，工资表、行程表。

*优点：直观，能直接看出部分对应值。

3.图像法：用图像来表示函数关系的方法。

*优点：形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势和某些性质。

核心提示：这三种表示方法各有优劣，在解决实际问题时常常需要相互转化，尤其是数形结合，是解决函数问题的重要思想方法。

二、一次函数（包括正比例函数）

（一）定义

1.一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。

2.正比例函数：当b=0时，即y=kx（k是常数，k≠0），叫做正比例函数。正比例函数是特殊的一次函数。

（二）图像与性质

1.图像：一次函数y=kx+b的图像是一条直线。因此，画一次函数图像时，只需确定两个点，再过这两点画直线即可。通常取（0，b）和（-b/k，0）（当k≠0，b≠0时）。

*正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的一条直线。

2.性质：

*k的符号决定直线的倾斜方向和函数的增减性：

*当k0时，直线从左到右上升，y随x的增大而增大。

*当k0时，直线从左到右下降，y随x的增大而减小。

*b的符号决定直线与y轴的交点位置：

*当b0时，直线与y轴交于正半轴。

*当b=0时，直线经过原点。

*当b0时，直线与y轴交于负半轴。

*k的绝对值大小：|k|越大，直线越陡；|k|越小，直线越平缓。

（三）一次函数解析式的确定

常用待定系数法：

1.设出含有待定系数的函数解析式（y=kx+b，k≠0）。

2.根据已知条件（通常是图像上两个点的坐标或两组对应值）列出关于k、b的二元一次方程组。

3.解方程组，求出k、b的值。

4.将k、b的值代入所设解析式，得到所求函数解析式。

三、反比例函数

（一）定义

一般地，形如y=k/x（k是常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。也可以表示为y=kx?1或xy=k（k≠0）。

（二）图像与性质

1.图像：反比例函数y=k/x的图像是双曲线。

*双曲线有两个分支，分别位于两个象限。

*双曲线与坐标轴没有交点（因为x≠0，y≠0）。

*双曲线是中心对称图形（对称中心是原点），也是轴对称图形（对称轴是直线y=x和y=-x）。

2.性质：

*k的符号决定双曲线的位置和函数的增减性：

*当k0时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。

*当k0时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。

*|k|的几何意义：过反比例函数y=k/x图像上任意一点P（x，y）作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则矩形OAPB的面积S=|x|·|y|=|xy|=|k|。三角形OAP或三角形OBP的面积为|k|/2。

（三）反比例函数解析式的确定

同样使用待定系数法：

1.设出反比例函数解析式（y=k/x，k≠0）。

2.根据已知条件（通常是图像上一个点的坐标或一组对应值）求出k的值（k=xy）。

3.将k的值代入所设解析式，得到所求函数解析式。

四、二次函数

（一）定义

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。

（二）图像与性质

1.图像：二次函数y=ax2+bx+c的图像是一条抛物线。

2.性质（以y=ax2+bx+c为例，a≠0）：

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