充分条件与必要条件 复习（讲义）——人教A版高中数学必修第一册.pdfVIP

1.4充分条件与必要条件

知识点一、充分条件与必要条件

一般地，“若〃，则/为真命题，是指由〃通过推理可以得出g这时我们就

说，

由〃可以推出小记作,并且说，〃是q的,q是p

的

知识点二、充要条件

如果“若〃，则q”和它的逆命题“若q,则p均是真命题，即既有,又

有,就记作・

此时，〃既是q的充分条件，也是夕的必要条件，我们说〃是q的充分必要条件，

简称为充要条件显然，如果〃是夕的充耍条件，那么夕也是〃的充要条件

知识点三、充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1.定义法：分别判断“p=〃”及、Z=p”的真假

2.等价转化法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题

3.集合法：利用集合间的包含关系进行判断

4传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，

根据图中推式的传递性进行判断

5.特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结

论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题

例题讲解

一、充分条件、必要条件、充要条件的判断

1、判断下列各命题中〃是4的什么条件：

(1)p：x-2=0,q：(x-2)(x-3)=0；

2

(2)p：t=#2,q：t#=4；

(3)p:0x3,q：|A-112；

(4)p：4ABC为直角三角形，q：ZkABC为等腰三角形

2、指出下列各题中〃是“的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充

要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)

①〃：若四边形的两组对角分别相等，q：这个四边形是平行四边形；

®p:a=b,q:ac=bc;

③p：X2=9,q：x=3

@p：q：一元二次方程/+x+m=。有实根；

⑤p：x,y为无理数，q：xy为无理数；

@p:。0且力0,q:。+80且。60;

⑦p：(x—l)2+(y—2)2=0,q：(x-l)(-2)=0；

⑧〃：x+yw3,q：xwl或yw2・

二、求条件(充分条件、必要条件和充要条件)

1、判断使不等式卜-1|22成立的充分不必要条件是否唯一

(必要不充分、充要条件呢)

2、设x、y是两个实数，“x、y中至少有一个数大于1”成立的一个充分不必

要条件是()

\.x+y=2B.x+y2C.x2+y22D.xy\

3、求证：关于X的方程4/+〃x+c=0有一个根为-1的充要条件是a-8+c=0

4、求关于x的方程。”+2x+1=()至少有一个负的实根的充要条件

三、条件和结的传递性

1、已知都是厂的必要条件，$是厂的充分条件，^是$的充分条件，则

(1)s是夕的什么条件？

(2)，•是夕的什么条件？

(3)p是q的什么条件?

四、充分条件、必要条件、充要条件的应用

1、关于x的不等式：凶+忖-1|＞，〃的解集为R的充要条件是

1m

2、已知p:2]2-3x-2N(),q:xa-2^xa,若〃是q的充分不必要条件