2025年概率题型试题及答案.docxVIP

2025年概率题型试题及答案

选择题

1.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）

A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“都是红球”

C.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”

D.“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”

答案：D

解析：A选项中，“至少有一个黑球”包含了“都是黑球”的情况，不是互斥事件；B选项中，“至少有一个黑球”与“都是红球”是对立事件；C选项中，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”都包含了“一个黑球一个红球”这种情况，不是互斥事件；D选项中，“恰有一个黑球”和“恰有两个黑球”不能同时发生，是互斥事件，且除了这两种情况还有“两个都是红球”的情况，所以不是对立事件。

2.已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(3,\sigma^{2})\)，且\(P(X\lt5)=0.8\)，则\(P(1\ltX\lt3)\)等于（）

A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2

答案：C

解析：因为随机变量\(X\)服从正态分布\(N(3,\sigma^{2})\)，所以正态曲线的对称轴是\(x=3\)。\(P(X\lt5)=0.8\)，则\(P(X\gt5)=10.8=0.2\)，根据正态曲线的对称性可知\(P(X\lt1)=P(X\gt5)=0.2\)，那么\(P(1\ltX\lt5)=12\times0.2=0.6\)，所以\(P(1\ltX\lt3)=\frac{1}{2}P(1\ltX\lt5)=0.3\)。

填空题

1.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是\(\frac{1}{2}\)，甲获胜的概率是\(\frac{1}{3}\)，则甲不输的概率为______。

答案：\(\frac{5}{6}\)

解析：甲不输包含两人下成和棋和甲获胜这两种情况，且这两种情况是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，甲不输的概率为\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{6}=\frac{5}{6}\)。

2.从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中随机选取一个数为\(a\)，从\(1\)，\(2\)，\(3\)中随机选取一个数为\(b\)，则\(b\gta\)的概率是______。

答案：\(\frac{1}{5}\)

解析：从\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)中随机选取一个数为\(a\)，有\(5\)种取法，从\(1\)，\(2\)，\(3\)中随机选取一个数为\(b\)，有\(3\)种取法，所以基本事件总数\(n=5\times3=15\)。满足\(b\gta\)的情况有\((1,2)\)，\((1,3)\)，\((2,3)\)，共\(3\)种，所以\(b\gta\)的概率\(P=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\)。

解答题

1.某学校为了了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一\(1200\)人、高二\(1000\)人、高三\(n\)人中抽取\(81\)人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为\(30\)人，求\(n\)的值。

解：由分层抽样的特点可知，各层抽取的比例是相同的。

高二有\(1000\)人，被抽取的人数为\(30\)人，则抽样比为\(\frac{30}{1000}=\frac{3}{100}\)。

那么从三个年级总共抽取\(81\)人，三个年级的总人数为\(1200+1000+n\)，可得\(\frac{81}{1200+1000+n}=\frac{3}{100}\)，

即\(3\times(1200+1000+n)=81\times100\)，

\(3\times(2200+n)=8100\)，

\(2200+n=2700\)，

解得\(n=500\)。

2.已知离散型随机变量\(X\)的分布列如下表：

|\(X\)|\(0\)|\(1\)|\(2\)|

|||||

|\(P\)|\(0.2\)|\(a\)|\(b\)|

且\(E(X)=1.2\)，求\(a\)，\(b\)的值。

解：根据离散型随机变量的分布列的性质，所有概率之和为\(1\)，即\(0.2+a+b=1\)，可得\(a+b=0.8\)①。

又由期望公式\(E(X)=x_{1}P_{1}+x_{2}P_{2}+\cdots+x_{n}P_{n}\)，已知\(E(X)=1.2\)，可得\(0\times0.2+1\timesa+2\timesb=1.2\