初中数学竞赛教程及练习33：同一法原理与应用.pdfVIP

初中数学竞赛精品及练习（33）

同一法

一、内容提要

1.“同一法”是一种间接的证明方法。它是根据符合“同一法则”的两个互题必等效

的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的题。

2.同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的

题同时有效。这称为同一法则。

互逆两个命题一般是不等价的。例如

原命题：福建是的一个省（真命题）

题：的一个省是福建（假命题）

但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。例如

原命题：的首都是（真命题）

题：是的首都（真命题）

因为世界上只有一个，而且只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。又如

原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。（真命题）

题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。（真命题）

因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命

题是等效的。

3.釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有，而它与题符合同一法则，

则可釆用同一法，证明它的题，其步骤是：

①作出符合命题结论的图形（即假设命题的结论成立）

②证明这一图形与命题题设相同（即证明它符合原题设）

二、例题

例1求证三角形的三条中线相交于一点

已知：△ABC中，AD，BE，CF都是中线

求证：AD，BE，CF相交一点

分析：在证明AD和BE相交于点G，本应再证明CF经过点G，这要证明共线，

直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG交AB于F，，证明CF，就是第三条中线

（即证明AF，＝F，B）

证明：∵∠DAB＋∠EBA＜180A

∴AD和BE相交，设交点为G,

F

E

连结并延长CG交AB于F，F

G

连结DE交CF，于M

∵DE∥ABBDC

MEMDCMBFMD

∴＝＝，即＝

AFBFCFAFME

MEMDMGAFMD

＝＝，即＝

BFAFGFBFME

BFAF

，，，

∴＝，∴AF＝BF，AF是BC边上的中线，

AFBF

∵BC边上的中线只有一条，∴AF，和AD是同一条中线

∴AD，BE，CF相交于一点G。

2222

例2.已知：△ABC中，D在BC上，AB－AC＝BD－DC

求证：AD是△ABC的高

2222

分析：从题设AB－AC＝BD－DC