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专题四--平行线模型归纳

在平面几何的广阔天地中，平行线如同两条永不相交的挚友，它们的存在为我们揭示了角与角之间奇妙的数量关系。掌握平行线的性质与判定，不仅是学好平面几何的基础，更是解决复杂几何问题的关键。而在这其中，一些经典的“平行线模型”如同解题的灯塔，能够帮助我们快速识别图形特征，找到解题的突破口。本专题将致力于系统归纳这些常见的平行线模型，剖析其构成、性质及应用，以期为同学们提供一把破解几何难题的“金钥匙”。

一、基础知识回顾：平行线的“前世今生”

在深入探讨模型之前，我们首先回顾一下构成平行线知识体系的基石。

1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.平行公理及其推论：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3.平行线的性质：

*两直线平行，同位角相等。

*两直线平行，内错角相等。

*两直线平行，同旁内角互补。

4.平行线的判定：

*同位角相等，两直线平行。

*内错角相等，两直线平行。

*同旁内角互补，两直线平行。

这些基本性质和判定方法是我们研究所有平行线模型的出发点。平行是核心，角是桥梁，而截线则是连接平行世界的纽带。

二、平行线模型归纳：从“基础”到“变式”

在解决与平行线相关的复杂问题时，我们常常会遇到一些具有特定结构的图形，这些图形就是我们所说的“模型”。它们通常是由两条（或多条）平行线和一条（或多条）截线构成，并在截线上形成一些特殊的“拐点”。

（一）模型一：“铅笔”模型（或“猪蹄”模型）——同旁内角互补的延伸

模型特征：两条平行线被一条折线所截，形成一个类似“铅笔头”或“猪蹄”的图形，即截线在两条平行线间发生一次转折，形成一个“凸”出来的角。

如图示意：（请自行脑补或绘制：两条平行线AB、CD，一条折线EFG，其中EF交AB于E，FG交CD于G，且点F在AB、CD之间，∠EFG为凸角）

核心结论：折线所形成的凸角（∠EFG）与它的两个“邻补角”（即∠AEF与∠CFG）之和等于180°的两倍？不，准确地说，是∠AEF+∠CFG=∠EFG吗？不，让我们严谨推导。

思考与推导：

我们过“拐点”F作一条与AB平行的直线FH。

因为AB∥CD，FH∥AB，所以FH∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。

因为FH∥AB，所以∠AEF=∠EFH（两直线平行，内错角相等）。

因为FH∥CD，所以∠CFG=∠GFH（两直线平行，内错角相等）。

所以，∠AEF+∠CFG=∠EFH+∠GFH=∠EFG。

结论：∠EFG=∠AEF+∠CFG。

推广：若折线方向相反，即形成一个“凹”进去的角（此时点F在AB、CD外侧），则有∠EFG+∠AEF+∠CFG=360°？不，同样过F作平行线，可以得到∠AEF+∠EFG+∠CFG=360°吗？不，应该是∠AEF+∠CFG=360°-∠EFG。或者说，此时∠EFG=∠AEF的邻补角+∠CFG的邻补角？不，还是通过严格作辅助线推导更可靠。

（请自行推导，结论应为：∠AEF+∠CFG=360°-∠EFG，或者说∠EFG=360°-(∠AEF+∠CFG)）。这种情况下，我们通常关注的是那个“凹角”与两个同侧内角的关系，其本质是“铅笔模型”的变式，核心依然是通过作平行线，将复杂角分解为我们熟悉的内错角或同旁内角。

（二）模型二：“锯齿”模型（或“M”模型、“N”模型）——多拐点的递进

模型特征：两条平行线被一条具有多个连续同向拐点的折线所截，形成类似“锯齿”或“M”、“N”（多个M或N相连）的图形。

如图示意：（请自行脑补或绘制：两条平行线AB、CD，一条折线EFGHI…，其中E在AB上，I在CD上，F、G、H为拐点，且各拐点的朝向相同，如均向下或均向上）

核心结论：当有n个同向拐点时，我们可以通过过每个拐点作平行线，逐步推导。以两个拐点（形成“N”形）为例：AB∥CD，折线EFGH，E在AB，H在CD，F、G为向上的拐点。

过F作FP∥AB，过G作GQ∥AB。

易知AB∥FP∥GQ∥CD。

则∠AEF=∠EFP，∠FGQ=∠PFG（内错角相等），∠QGH=∠GHC（内错角相等）。

所以，∠AEF+∠FGH=∠EFP+(∠FGQ+∠QGH)=(∠EFP+∠PFG)+∠GHC=∠EFG+∠GHC。

即：∠AEF+∠FGH=∠EFG+∠GHC。

对于更多拐点，我们会发现一个规律：所有朝左的角之和等于所有朝右的角之和（这里的“左”和“右”是相对折线的走向而言，更准确地说是所有“上凸”角之