安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷（四）（原卷版）-A4.docxVIP

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合肥一中2025届高三下学期数学素质拓展（四）

一、单选题

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知平面向量满足，且，则（）

A.2 B. C. D.1

3.四参数方程的拟合函数表达式为，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如），还可以是一条S形曲线，当，，，时，该拟合函数图象是（）

A.类似递增的双曲线 B.类似递增的对数曲线

C.类似递减的指数曲线 D.是一条S形曲线

4.已知，且，则（）

A. B. C. D.

5.在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（）

A.和点E，F的位置有关 B.和EF的长度有关

C.和点P的位置有关 D.等于

6.建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（）

A.7 B.8 C.12 D.13

7.已知直线与圆交于两点，若成等差数列，则的最小值为（）

A B. C. D.

8.设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、多选题

9.下列说法中，正确的命题是（）

A.在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强

B.在具有线性相关关系两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则

C.在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越小

D.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3

10.已知抛物线焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（）

A.若，则直线的斜率为

B.

C.（为坐标原点）

D.当取最小值时，

11.我们常用数是十进制数，如，计算机用的是二进制数，只需两个数码.如二进制数：.将十进制正整数表示为二进制数，其各位数字之和记为，即：，其中，且，则，如.则以下关于数列的结论正确的有（）

A.若，则的最大值为 B.

C. D.

三、填空题

12.已知复数，则的虚部为__________．

13.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为__________.

14.从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为______.

四、解答题

15.在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．

（1）从盒子中随机摸出1个球，求在摸出球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；

（2）从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．

16.已知在中，.

（1）判断的形状，并说明理由；

（2）若，点D在AB边上，且.若，求的面积.

17.如图，在四棱锥中，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.

（1）若，平面与平面是否互相垂直？如果垂直,请证明；如果不垂直，请说明理由.

（2）若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.

18.设函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若在区间上单调递增，求的取值范围；

（3）当时，，求的取值范围．

19.已知椭圆的离心率为，点在上．

（1）求的方程；

（2）设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．