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中考数学压轴题必考模型01：瓜豆原理的三种必考题型

在中考数学的压轴题领域，几何动态问题因其综合性强、区分度高，一直是命题的热点与难点。而“瓜豆原理”作为解决此类问题的一把“金钥匙”，近年来频繁出现在各地中考试卷中，成为考生必须攻克的难关。它并非课本上明确列出的定理，却蕴含着深刻的几何变换思想，能够巧妙地揭示图形运动过程中的不变性与规律性。理解并掌握瓜豆原理，能让我们在复杂的动态问题中找到清晰的解题路径，化繁为简，直击核心。

一、瓜豆原理的核心概念：运动中的“因果”与“复制”

要掌握瓜豆原理，首先要理解其核心思想。通俗地讲，瓜豆原理描述的是两个点（我们称之为“主动点”和“从动点”）之间存在的一种确定的、可追溯的运动关联。主动点的运动轨迹，通过某种固定的“变换规则”，会“复制”出从动点的运动轨迹。形象地说，就是“种瓜得瓜，种豆得豆”——主动点的轨迹是什么“瓜”，从动点的轨迹就是什么“豆”，其形状往往具有高度的一致性或关联性。

关键要素：

1.主动点（P）：运动轨迹已知或相对容易确定的点。

2.从动点（Q）：其运动由主动点的运动通过特定规则（如旋转、伸缩、平移等组合）所驱动的点。

3.变换规则：连接主动点与从动点的“桥梁”，通常涉及到一个定点（我们可称之为“旋转中心”或“位似中心”）以及固定的旋转角、伸缩比等。

4.轨迹关联性：若主动点P的轨迹是某种曲线（如直线、圆、其他规则曲线），则从动点Q的轨迹通常也是同类曲线，或通过对主动点轨迹进行相似、全等或其他规则变换得到。

二、瓜豆原理的三种必考题型深度剖析

题型一：轨迹类型判断题——“他是什么，我就是什么”

题型特征：此类题目通常会明确给出主动点的运动轨迹（如在定直线上运动、在定圆上运动等），以及从动点与主动点之间的变换规则（多为绕某定点的旋转加放缩，即旋缩变换），要求判断从动点的运动轨迹类型。

解题核心：牢记“轨迹形状不变性”。若主动点P在一条直线上运动，且从动点Q是由P绕定点O旋转一个定角α并以定比k缩放得到，则Q点的轨迹也是一条直线。若主动点P在一个定圆上运动，同样经过上述旋缩变换，Q点的轨迹则是另一个圆（可能与原圆同心，也可能不同心，取决于变换）。

典型例题与思路点拨：

*例题1：如图，点A为定点，点P是⊙O上的一个动点。连接AP，将线段AP绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AQ。请问点Q的运动轨迹是什么图形？

*分析：主动点P的轨迹是⊙O（圆）。变换规则是：以A为旋转中心，旋转角60°（定角），缩放比k=1（旋转不改变长度）。根据瓜豆原理，从动点Q的轨迹也应该是一个圆。这个圆可以看作是⊙O绕点A顺时针旋转60°后得到的圆。

*结论：点Q的运动轨迹是一个圆。

解题策略小结：

1.明确主动点及其轨迹。

2.分析从动点由主动点如何变换而来（找定点、定角、定比）。

3.根据主动点轨迹类型，直接推断从动点轨迹类型。

题型二：轨迹长度与最值计算题——“他走多远，我走多远（或按比例）”

题型特征：在判断出从动点轨迹类型的基础上，进一步要求计算从动点轨迹的长度，或者在从动点运动过程中，求某条线段长度的最大值、最小值，或某个图形面积的最值等。这类题目是瓜豆原理应用的深化，也是中考的常考点。

解题核心：

*轨迹长度：若主动点轨迹是线段，其长度为L，从动点是主动点经过相似比为k的位似变换（或旋缩变换，其中旋转不改变长度），则从动点轨迹线段长度为kL。若主动点轨迹是圆，其半径为r，则从动点轨迹圆的半径为kr，其周长为2πkr。

*最值问题：通常转化为从动点轨迹上的点到某一定点的距离最值。例如，求OQ的最小值，若Q的轨迹是圆⊙M，则OQ的最小值为|OM-r|（O、M为定点，r为⊙M半径），最大值为OM+r。

典型例题与思路点拨：

*例题2：如图，已知点A(0,2)，点B是x轴正半轴上一动点，以AB为边作等边三角形ABC（点A、B、C按顺时针方向排列）。连接OC，求线段OC长度的最小值。

*分析：

1.确定主动点与从动点：主动点是B（在x轴正半轴，即直线y=0上运动）。从动点是C。

2.寻找变换规则：如何从B得到C？考虑到△ABC是等边三角形。可以将点A视为“旋转中心”。将线段AB绕点A逆时针旋转60°即可得到线段AC。因此，C是B绕A点逆时针旋转60°得到的从动点。

3.判断C点轨迹：主动点B在直线y=0（x轴）上运动，C是B绕A旋转60°得到，故C点轨迹是x轴绕点A逆时针旋转60°后得到的一条直线l。

4.转化为点到直线距离：求OC的最小值，即求原点O到直线l的距离。

*求解步骤（简要）：

*求出直线l的方程。因为x轴绕A(0,2)逆时针旋转60°，其斜率