第一讲复变函数.pptVIP

第1页，共40页，星期日，2025年，2月5日对象复变函数（自变量为复数的函数）主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。主要内容复变函数的积分、级数、留数、共形映射等。复数与复变函数、解析函数、第2页，共40页，星期日，2025年，2月5日学习方法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。第3页，共40页，星期日，2025年，2月5日背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题。复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。第4页，共40页，星期日，2025年，2月5日复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究了复变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。第5页，共40页，星期日，2025年，2月5日1.复数的概念2.代数运算3.共轭复数CH1§1复数及其代数运算第6页，共40页，星期日，2025年，2月5日一般,任意两个复数不能比较大小。1.复数的概念定义对任意两实数x、y,称z=x+iy或z=x+yi为复数。复数z的实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)复数的模判断复数相等第7页，共40页，星期日，2025年，2月5日定义z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)2.代数运算四则运算第8页，共40页，星期日，2025年，2月5日z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。（与实数相同）即，第9页，共40页，星期日，2025年，2月5日共轭复数的性质3.共轭复数定义若z=x+iy,称?z=x-iy为z的共轭复数.(conjugate)第10页，共40页，星期日，2025年，2月5日第11页，共40页，星期日，2025年，2月5日第12页，共40页，星期日，2025年，2月5日1.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法§2复数的表示方法第13页，共40页，星期日，2025年，2月5日1.点的表示点的表示：数z与点z同义.第14页，共40页，星期日，2025年，2月5日2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy?称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值；以正实轴为始边,以为终边的角的弧度数称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)第15页，共40页，星期日，2025年，2月5日辐角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，把其中满足的θ0称为辐角Argz的主值，记作θ0=argz。z=0时，辐角不确定。计算argz(z≠0)的公式第1