变分法第八章.pptVIP

的欧拉方程为又，在附加条件下所以u0满足或代入J1[u0],有u0是本征函数。再证明：即l0是本征值，设l0是最小本征值。第30页，共42页，星期日，2025年，2月5日第1页，共42页，星期日，2025年，2月5日1泛函的概念最速落径问题,如图所示A、B两点不在同一铅垂线，也不在同一高度§8.1泛函与泛函的极值ABx(x,y,)我们知道，质点下落速率与下落高度间的关系为一质点在重力作用下无磨擦沿某曲线从A滑到B，求下滑的最短时间。或沿哪条曲线用时最短。所以第2页，共42页，星期日，2025年，2月5日T称为y(x)的泛函y(x)可取的函数种类，称泛函的定义域,泛函是函数的涵数（不指复合函数）一般地，C是函数的集合，B是实数（或复数）的集合，若对于C中的任一称元素y(x)，在B中均有一元素J与之对应，则称J为y(x)的泛函是函数。记为与通常函数的定义不同，泛函的值决定于函数的取形。即如上例中，T的变化决定于的变化，而非某一个自变量x的值进而某一个函数y的值。而是决定于函数集合C中的函数关系，即决定于函数的取形。第3页，共42页，星期日，2025年，2月5日通常，泛函多以积分形式出现，如称为泛函的核其中2泛函的极值与变分在泛函的概念下，最速落径问题归结为泛函的极值问题，所谓变分法,就是求泛函的极值问题。研究泛函极值问题的方法归为两类：直接法与间接法要讨论间接法，先讨论泛函的变分问题。第4页，共42页，星期日，2025年，2月5日设有连续函数即导数的变分等于变分的导数,变分微分运算可交换次序。将其微小变形为其中t是一个小参数，称为的变分，记为此时，函数相应变形为第5页，共42页，星期日，2025年，2月5日设对x,y,y’二阶可导，y’’连续中相对于y、y’作Tayler展开抵消t的0次项，保留t的1次项，略去t的高阶项有变分dy时，泛函J的变化为则函数可得第6页，共42页，星期日，2025年，2月5日上式称泛函J[y（x）]第一次变分，简称变分，记为3泛函极值的必要条件——欧拉方程设泛函J[y（x）]的极值问题有解，记为y=y(x)现在来推导此解y（x）满足的常微分方程设y=y（x）有变分，则可视为t的函数表示为当t=0时第7页，共42页，星期日，2025年，2月5日亦即,F(t)函数取极值。即取极值这样，就把原来的泛函的极值问题转变成F(t)这种普通函数的极值问题。令即将代入上式，得即第8页，共42页，星期日，2025年，2月5日泛函取极值的必要条件是其变分为0，或者说，泛函J的极值函数y(x)必须是满足泛函的变分dJ=0的函数类所以泛函的极值问题称为变分问题在简单变分问题中，端点是固定的同乘t得即又因为（分步积分）第9页，共42页，星期日，2025年，2月5日欧拉(Euler)方程，泛函有极值的必要条件。所以，得ⅰ）单变量多函数的泛函以上为单变量单函数泛函极值问题的欧拉方程，较复杂的泛函欧拉方程可仿照上述方法导出。如与求多元函数的偏导数相似，分别对多函数泛函之某一函数取变分，其余函数保持不变。可得i=1,2,……n第10页，共42页，星期日，2025年，2月5日ⅱ）高阶导数的泛函取相应的欧拉方程为或写成ⅲ）多元函数的泛函取相应的欧拉方程为第11页，共42页，星期日，2025年，2月5日例1最速落径问题，即求解变分问题代入得解：由于欧拉方程变形为不显含x第12页，共42页，星期日，2025年，2月5日求出偏导数，有通分并取平方取得令代入上式摆线的参数方程常数c1、c2由A、B位置决定第13页，共42页，星期日，2025年，2月5日4泛函的条件极值问题若变量函数y（x）受到附加条件的限制，则相应的极值问题，称为条件极值问题。典型的也是最重的限制是用积分形式表示的,如即所谓等周问题均为常数，可仿照函数条件极值问题的Lagrange乘子法，即其中第14页，共42页，星期日，2025年，2月5日将附加条件乘以参数,确定特解l，求其变分，有这是通过a和b两点的y(x)在附加条件下,使泛函取极值的必要条件。则问题转化为一般的泛函变分问题，相应的欧拉方程为关于y(x)的二阶常微分方程，一般含三个参数，即l和两个积分常数，泛函取极值的必要条件。由来