§10.2二重积分的计算法.pptVIP

一利用直角坐标计算二重积分二小结思考题§10.2二重积分的计算法（一）1

复习与回顾(2)回顾一元函数定积分的应用平行截面面积为已知的立体的体积的求法体积元素体积为在点x处的平行截面的面积为:(1)二重积分2

其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分(1)［X－型域］[X—型区域的特点]穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.[预备知识]3

(2)［Y－型域］[Y—型区域的特点]穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.4

(3)[既非X－型域也非Y－型域]在分割后的三个区域上分别都是X－型域(或Y—型域)则必须分割.由二重积分积分区域的可加性得5

(1)若积分区域为X－型域：2.【二重积分公式推导】根据二重积分的几何意义以及计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来求.方法6

即得公式17

几点小结定限口诀后积先定限(投影)限内划条线(穿线)先交下限写后交上限见aboxyDx(后积变量上下限必为常数)该线平行于坐标轴且同向投影穿线法8

3.【二重积分的计算步骤可归结为】①画出积分域的图形，标出边界线方程；②根据积分域特征，确定积分次序；③根据上述结果，化二重积分为二次积分并计算。公式29

(1)使用公式1必须是X－型域，公式2必须是Y－型域.(2)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方便,可选择积分次序,必要时还可交换积分次序.(见后续补充例题)(3)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域（或Y-型域）[说明]10

4.【例题部分】例1解Ⅰ看作X－型域12oxyy=xy=1Dx12oxyx=yx=2Dy12解Ⅱ看作Y－型域11

例2解D既是X—型域又是—Y型域法1－111xoy=xDxy12

法2注意到先对x的积分较繁，故应用法1较方便－111yoy=xD－1xy注意两种积分次序的计算效果！13

例3解D既是X—型域又是Y—型域先求交点14

法1法2视为X—型域计算较繁本题进一步说明两种积分次序的不同计算效果！15

小结以上三例说明，在化二重积分为二次积分时，为简便见需恰当选择积分次序；既要考虑积分区域D的形状，又要考虑被积函数的特性(易积)16

5.【简单应用】例4求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积V.解设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为17

例5解据二重积分的性质4（几何意义）交点与定积分元素法相同18

6.【补充】改变二次积分的积分次序例题补例1解19

随堂练习1.计算其中D是由直线y=x及抛物线y2=x所围成.解积不出的积分，无法计算。课本P154第5题第6题练习20

解当被积函数中有绝对值时，要考虑积分域中不同范围脱去绝对值符号。分析补例2作业:－1?x?121

计算其中D由所围成.令(如图所示)显然,利用对称性与奇偶性补例3分析解课本P154第3题与积分变量无关补例4与积分变量无关与积分变量无关22

分部积分法(略).(05/06学年第一学期考试题A卷)化为二次积分,交换积分次序原式=原式补例5解Ⅰ解Ⅱ23

谢谢大家！ThankYou！24