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专科高数题库及答案解析

一、单项选择题（每题2分，共10题）

1.函数\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定义域是（）

A.\((1,+\infty)\)B.\((1,2)\cup(2,+\infty)\)C.\((0,1)\cup(1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)

答案：B

解析：要使函数有意义，则\(\ln(x-1)\neq0\)且\(x-1\gt0\)。由\(\ln(x-1)\neq0\)得\(x-1\neq1\)，即\(x\neq2\)；由\(x-1\gt0\)得\(x\gt1\)，所以定义域是\((1,2)\cup(2,+\infty)\)。

2.当\(x\to0\)时，\(\sinx\)是\(x\)的（）

A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但不等价无穷小D.等价无穷小

答案：D

解析：\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，所以当\(x\to0\)时，\(\sinx\)与\(x\)是等价无穷小。

3.设\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,x\geq0\\-x,x\lt0\end{cases}\)，则\(f^\prime(0)\)（）

A.不存在B.等于0C.等于1D.等于-1

答案：A

解析：\(f^\prime_+(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{(x^2+1)-1}{x}=0\)，\(f^\prime_-(0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{-x-0}{x}=-1\)，左右导数不相等，所以\(f^\prime(0)\)不存在。

4.函数\(y=x^3-3x\)的单调递增区间是（）

A.\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)B.\((-1,1)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((0,+\infty)\)

答案：A

解析：\(y^\prime=3x^2-3\)，令\(y^\prime\gt0\)，即\(3x^2-3\gt0\)，解得\(x\lt-1\)或\(x\gt1\)，所以单调递增区间是\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)。

5.\(\intx\cosxdx\)=（）

A.\(x\sinx+\cosx+C\)B.\(x\sinx-\cosx+C\)C.\(-x\sinx+\cosx+C\)D.\(-x\sinx-\cosx+C\)

答案：B

解析：利用分部积分法，\(\intx\cosxdx=\intxd(\sinx)=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C\)。

6.已知向量\(\vec{a}=(1,2,3)\)，\(\vec{b}=(3,2,1)\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)=（）

A.10B.8C.6D.4

答案：A

解析：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times3+2\times2+3\times1=3+4+3=10\)。

7.设\(z=x^2y\)，则\(\frac{\partialz}{\partialx}\)=（）

A.\(2xy\)B.\(x^2\)C.\(2x\)D.\(y\)

答案：A

解析：把\(y\)看作常数，对\(x\)求导，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy\)。

8.级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）

A.发散的B.收敛的C.条件收敛D.绝对收敛

答案：B

解析：\(p\)级数\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)，当\(p=2\gt1\)时收敛，所以\(\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)收敛。

9.微分方程\(y^\prime=2x\)的通解是（）

A.\(y=x^2+C\)B.\(y=2x^2+C\)C.\(y=x^2\)D.\(y=2x^2\)

答案：A

解析：对\(y^\prime=2x\)两边积分