人教版2023-2024学年八上数学压轴题攻略专题03 全等三角形的六种模型全梳理（解析版）.pdfVIP

专题03全等三角形的六种模型全梳理

几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三

角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型

目的:①构造出一组全等三角形;②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中。

例i・【读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,ABC中，若AB=8,AC=6,求8C边上的中线AQ的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长AQ到点E,使DE=AD,

连接既.请根据小明的方法思考：

(1)如图2,由已知和作图能得到△ADC至NEDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

(2)如图2,AQ长的取值范围是.

A.6AD8B.6AD8C.1AD7D.1AD7

【感悟】

解题时，条件中若出现“中点〃、中线〃字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的

已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图3,AQ是ABC的中线，既交AC于点E,交AQ于且AE=EF.求证：AC=BF.

【答案】(1)B(2)C(3)见解析

【分析】(1)根据全等三角形的判定条件求解即可；

(2)根据全等三角形的性质得到AC=BE=6,由三角形三边关系得到

AB-BEAEAB+BE,艮口可求出lvAD1；

(3)延长AD到点使AD=DM,连接酗，证明△ADC丝ZWDB,得到

BM=AC,ZCAD=ZM,由AE=EF得到ZCAD=ZAFE,进而推出BF=BM,即可证

明AC=BF.

【详解】解：(1)如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连接既.

图2

^\AD^}BC的中线，

@BD=CD,

又同AD=DE,ZADC=/BDE,

园AADC丝△EDB(SAS),

故答案为：B；

(2)解：HAADC^AEDB,

0AC=BE=6,

在」ABE中，AB-BEAEAB+BE,

图8—6v2AZ)v8+6,

01AD7,

故答案为：C；

(3)证明：延长AD到点M,使AD=DM,连接BM,

园AD是.ABC中线，

伺CD=BD,

园在△ADC和膑成中，

DC=DB

ZADC=ZMDB,

AD=HD

园AADC至△MDB(SAS),

^\BM=AC,ZCAD=ZM,

^\ZCAD=ZAFE,

@ZAFE=ZBFD,

伺ZBFD=ZM,

@BF=BM,

^\AC=BF.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，等腰三角形的性质

与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

例2.（培优）已知AACB和ADCE都是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°,连接AD,BE,

点F为BE中点.

图I图2

⑴如图1,求证：BF=^AD；

⑵将4DCE绕C点旋转到如图2所示的位置，连接过。点作CMLAD于M点.

①探究AE和BD的关系，并说明理由；

②连接化,求证：F,C,M三点共线.

【答案】⑴见解析

⑵①AE=BD,AE±BD,理由见解析②见解析

【分析】（1）证明V4CDV8CE,得到AD=BE,再根据点F为BE中点，即可得证；

(2)①证明aACE2BCD，得到AE=BD,ZCBD=/EAC,设交于点H,BC,AE

交于点G,根据ZAGB=ZCBD+ZBHG=ZEAC+ZACB,得到ZBHG=ZACB=0°,即

可得出结论；②延长以至点尸，使PF=CF,连接BP,证明_.BFP£EFC(SAS),进而

推出^PBC^DC4(SAS),得到ZBCP=ZCAD,