2025年数学考研高等代数专项训练试卷（含答案）.docxVIP

2025年数学考研高等代数专项训练试卷（含答案）

考试时间：______分钟总分：______分姓名：______

一、选择题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.设向量组α?,α?,α?线性无关，向量β?=α?+α?,β?=α?+α?,β?=α?+α?，则向量组β?,β?,β?的秩为（）。

A.1

B.2

C.3

D.不能确定

2.设A是n阶矩阵，且A2=E（E为n阶单位矩阵），则下列结论中错误的是（）。

A.A的特征值只能是1或-1

B.A的行列式|A|=1

C.A的伴随矩阵A*=A

D.A必可对角化

3.设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，若AB=O（O为m×s零矩阵），则必有（）。

A.A=O或B=O

B.r(A)+r(B)≤n

C.r(A)=0或r(B)=0

D.s=0

4.设A是n阶实对称矩阵，且满足A3-3A2+3A-E=O（E为n阶单位矩阵），则A的特征值一定属于集合（）。

A.{1}

B.{2}

C.{1,2}

D.{0,1,2}

5.设二次型f(x?,x?,x?)=x?2+2x?2+ax?2+2x?x?+4x?x?+2x?x?的正惯性指数为2，则实数a的取值范围是（）。

A.a1

B.a-2

C.a≤-2

D.a≥1

二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分。）

6.设A是3阶矩阵，且|A|=3，则|2A*|=_______（A*为A的伴随矩阵）。

7.设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A的秩r(A)=4，且方程组的基础解系含2个线性无关的解向量，则矩阵A的秩r(A)=_______。

8.设向量α=(1,k,2)?与β=(0,1,1)?正交，则实数k=_______。

9.设矩阵A=[(1,λ),(λ,1)]，且A的一个特征值为3，则λ=_______。

10.设二次型f(x?,x?,x?)=x?x?+x?x?通过正交变换x=Pz化为标准形f=z?2-z?2+2z?2，则矩阵A=[a??]（其中a??为f对应的矩阵A的元素）中a??=_______。

三、计算题：（本大题共4小题，共50分。）

11.（本题满分12分）计算行列式D=|1234||2341||3412||4123|的值。

12.（本题满分12分）设矩阵A=[(1,2,0),(2,1,-2),(0,-2,1)],B=[(1,2),(2,1),(1,3)]。

(1)求矩阵A的逆矩阵A?1（若存在）。

(2)求线性方程组Ax=B的解。

13.（本题满分12分）设向量组α?=(1,1,1),α?=(1,2,3),α?=(1,3,t),α?=(1,2,1)。

(1)当t取何值时，向量组α?,α?,α?,α?线性相关？

(2)当向量组α?,α?,α?,α?线性相关时，求它的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

14.（本题满分14分）设矩阵A=[(λ,1),(0,λ)]。

(1)求A的特征值和特征向量。

(2)问矩阵A是否可对角化？若可对角化，求可逆矩阵P，使得P?1AP为对角矩阵。

四、证明题：（本大题共2小题，共25分。）

15.（本题满分12分）设A是n阶方阵，且满足A2=A。证明：A的特征值只能为0或1。

16.（本题满分13分）设n阶矩阵A可逆，且A与B相似。证明：A的伴随矩阵A*与B的伴随矩阵B*相似。

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试卷答案

一、选择题：

1.B

2.D

3.B

4.A

5.D

二、填空题：

6.24

7.4

8.-1

9.±√2

10.0

三